Разработен пример: дефиниционно множество и множество от стойности на частични линейни функции

Дадена ни е линейна функция, която е частично определена за различни интервали на х. g(х) е част от права и правата се променя в зависимост от интервала, в който се намира х. Нека помислим върху дефиниционното множество и след това да разгледаме множеството от стойностите на функцията. Дефиниционното множество на тази функция – това е преговор – е множеството от всички аргументи, за които тази функция е определена, като променливата за аргумента тук е х. Това е множеството от всички стойности на х, за които тази функция е определена. И тук виждаме: за всяко х, равно или по-малко от -6, функцията не е определена. Ако х е по-малко или равно на -6, то не попада в никой от тези три интервала. Няма никакво определение за него. Не ни е казано: "Направи това във всички други случаи за х". Знаем само, че ако х попада в едно от тези три условия, прилагаме тези. И ако х не попада в някое от тези три условия, тази функция g е просто не определена. За да попада в едно от тях, х трябва да бъде поне по-голямо от -6. Ето тази част тук, най-ниският край на дефиниционното множество е определен тук. Бихме могли да кажем, -6 е по-малко от х и оставям... Нека го напиша тук. Всички реални числа – всъщност нека го напиша по този начин: мога да го напиша по по-математически начин. Мога да кажа, че х принадлежи към реалните числа, при които -6 е по-малко от х. И ще разгледам също и горната граница. Докато х расте... Искам само да се уверя, че няма никакви разстояния между х по-голямо от -6 и х по-малко или равно на 6. И така, да видим. Ако х е до -3 включително, попадаме в това условие. След като пресечем -3, попадаме в това условие до 4, но след като стигнем до 4, попадаме в това условие, което е до 6 включително. В най-високия край е казано, че х може да бъде по-малко или равно на 6. по-малко или равно на 6. Казано по друг начин, един вид с по-малко математически означения, е че х може да бъде всяко реално число, което е по-голямо от -6 и е по-малко или равно на 6. Тези две твърдения са еквивалентни. Сега нека разгледаме множеството от стойностите на тази функция. Нека помислим за множеството от стойностите, а то е множеството от всички аргументи... о, извинявам се, то е множеството от всички изходящи стойности, които тази функция може да получи. Или всички стойности, които тази функция може да приеме. За да го направим, нека просто разгледаме докато х се движи в рамките на този интервал. Какви са различните стойности, които g(х) може да получи? Нека помислим върху това. g(х) ще бъде между какво и какво? Тук може да има някои знаци за равно, но ще помисля за това след секунда. Кога това достига най-ниската си точка? Това нещо достига най-ниската си точка, когато х е възможно най-малко. х е възможно най-малко, когато клони към –6. Ако х беше равно на -6, макар то да не може да е равно на -6, но ако х е равно на -6, тогава това нещо тук щеше да е -6 + 7 = 1. Ако х е по-голямо от -6, g(х) ще бъде по-голямо от 1. Друг начин да го разглеждаме е, ако -6 е по-малко от х, тогава 1 ще бъде по-малко от g(х). Защото ако въведа -6 във функцията, -6+7=1. А кога това ще достигне горната граница, при която тя е възможно най-голяма? Най-голямата стойност в този интервал, която можем да въведем, е х = -3. Когато х е равно на -3, -3 + 7 = 4. То може да приеме тази стойност, защото това е по-малко или равно на. Можем да имаме х = -3, в който случай g(х) ще бъде + 4. И така, нека направим това за всички тези интервали. Тук имаме 1 – х, така че това ще приеме най-малката стойност, когато х е възможно най-голямо. Най-високата стойност, към която х може да клони, която то може да приеме, но няма да достигне... Ако х е 4, въпреки че това не е условието, 1 – х, заместваме и 1 – 4 = -3. Докато х е по-малко от 4, минус 3 ще бъде по-малко от g(х). Искам да се уверя, че ти е ясно, защото това може да бъде малко объркващо. Функцията приема минималната си стойност, когато х клони към максималната си стойност, защото го изваждаме. Ако вземеш горната граница, въпреки че тя не включва 4, но когато клони към него, имаме 1 – 4 = -3, така че g(х) винаги ще бъде по-голямо от това, както ще бъде и по-малко от това. А какво се случва, когато клоним към х = -3? 1 минус -3 ще бъде плюс 4. Това тук ще бъде +4. И те и двете са по малко от, а не по-малко или равно, защото тези и двете тук са по-малки от. И сега нека разгледаме това тук. 2х – 11 ще достигне максимална стойност, когато х е възможно най-голямо. Максималната стойност ще бъде, когато х = 6. 2 по 6 е 12, минус 11. Това ще бъде 1. Максималната стойност ще бъде 1. Функцията може да я достигне, защото х може да бъде равно на 6. Минималната стойност е при х = 4. И всъщност то може да бъде равно на 4. Имаме знак за по-малко или равно ето тук. Така че 2 по 4 е 8, минус 11 е минус 3. В този случай g(х) може да падне до минус 3, когато х е равно на 4. Сега нека разгледаме всички стойности, които g(х) може да получи. Можем да го напишем по много начини. Можем да напишем, че g(х) принадлежи на реалните числа, за които – да видим. Каква е най-ниската стойност, която може да получи g(х)? g(х) може да бъде най-малко -3. Тя дори може да бъде равна на -3. Това просто беше по-голямо от -3, но то може да бъде по-голямо или равно на -3. Така че -3 е по-малко или равно на g(х) и то може да достигне до... Да видим. То е определено чак до 1 и след това... или не трябваше да казвам, че е определено чак до 1. То може да приема стойност чак до 1, но може да приема също и стойности под 1. Може да приеме всички стойности тук до 4 включително. Следователно g(х) принадлежи на реалните числа, за които -3 е по-малко или равно на g(х), което е по-малко или равно на 4. Множеството от всички стойности, които g(х) може да получи, са между -3 включително и + 4 включително.