If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 7

Урок 21: Потвърждаване на това, че функциите са обратни (Алгебра 2 ниво)
Математика
Алгебра (цялото съдържание)
Функции
Потвърждаване на това, че функциите са обратни (Алгебра 2 ниво)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Проверка на обратни функции чрез съставяне

Класна стая на Google
Научи как да провериш дали две функции са обратни, като ги съставиш. Например обратни ли са функциите f(x)=5x-7 и g(x)=x/5+7?
Голяма част от тази статия включва съставянето на функции. Ако трябва да си припомниш тази материя, ти препоръчваме да погледнеш тук преди да прочетеш статията.
Обратните функции в най-общ смисъл са функции, които "се обръщат" една друга. Например, ако дадена функция отнася a до b, то тогава обратната ѝ трябва да отнася b до a.
Нека например вземем функциите f и g: f(x)=x+13 и g(x)=3x−1.
Обърни внимание как f(5)=2 и g(2)=5.
Тук виждаме, че когато приложим f, последвана от g, получаваме отново първоначалния аргумент. Представено като съставна (сложна) функция, ще имаме g(f(5))=5.
Но за да бъдат двете функции обратни, трябва да покажем, че това се случва за всички възможни аргументи без значение на реда, в който се прилагат f и g. Това поражда правилото за съставяне на обратни функции.

Правило за съставяне на обратни функции

Това са условията, за да бъдат двете функции f и g обратни:
  • f(g(x))=x за всички стойности на x от дефиниционното множество на g
  • g(f(x))=x за всички стойности на x от дефиниционното множество на f
Това е така, понеже ако f и g са обратни, комбинирането на f и g (в произволен ред) създава функцията, която за всяко въведено число връща това въведено число. Наричаме тази функция тъждествена функция (идентитет).

Пример 1: Функциите f и g са обратни една на друга

Да използваме правилото за съставяне на обратна функция, за да потвърдим, че f и g по-горе са наистина обратни функции.
Припомни си, че f(x)=x+13 и g(x)=3x−1.
Нека намерим f(g(x)) и g(f(x)).
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x
Виждаме, че функциите f и g са обратни една на друга, защото f(g(x))=x и g(f(x))=x.

Пример 2: Функциите f и g не са обратни една на друга

Ако f(g(x)) или g(f(x)) не е равно на x, тогава f и g не могат да са обратни една на друга.
Нека проверим това за f(x)=5x−7 и g(x)=5+7.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285
Тоест, функциите f и g не са обратни една на друга, понеже f(g(x))≠x и g(f(x))≠x.
(Нека тук отбележим, че можехме да заключим, че f и g не са обратни една на друга, след като показахме, че f(g(x))=x+28.

Провери знанията си

Като цяло, за да проверим дали f и g са обратни една на друга функции, можем да конструираме съставна (сложна) функция от тях. Ако резултатът е x, тогава функциите са обратни. Иначе не са.

1) f(x)=2x+7 и h(x)=x−72

Опрости изразите за f(h(x)) и h(f(x)) по отношение на x.
f(h(x))=
h(f(x))=
Обратни ли са една спрямо друга функциите f и h?
Избери един отговор:

2) f(x)=4x+10 и g(x)=14x−10

Опрости изразите за f(g(x)) и g(f(x)) по отношение на x.
f(g(x))=
g(f(x))=
Обратни ли са една спрямо друга функциите f и g?
Избери един отговор:

3) f(x)=23x−8 и h(x)=32(x+8)

Опрости изразите за f(h(x)) и h(f(x)) по отношение на x.
f(h(x))=
h(f(x))=
Обратни ли са една спрямо друга функциите f и h?
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.