Проверка на обратни функции чрез съставяне

Да кажем, че f(х) е равно на (х плюс 7) на трета степен, минус 1. Да кажем, че g(х) е равна на кубичен корен от (х плюс 1), минус 7. Сега искам да изчисля f(g(х)). Искам да изчисля f(g(х)) и също да изчисля g(f(х)) и да видя какво ще получа. Както винаги те окуражавам да спреш видеото и да опиташ да го решиш. Нека първо изчислим f(g(х)). g(х), този израз, ще е аргументът ни. Навсякъде, където виждаме х в определението за f(х), ще го заменим с g(х). f(g(х)) ще е равно на... Виждам х ето тук така че ще запиша g(х) там, тоест това е кубичен корен от (х плюс 1), минус 7. И после имам плюс 7, цялото на трета степен, минус 1. Забележи, че където видях х, тъй като взимам f(g(х)), го заменям с g(х), така че това е кубичен корен от (х плюс 1), минус 7. Да видим дали можем да опростим това. Имаме минус 7 плюс 7 и това добре се опростява. Това е равно на – сега мога да избера неутрален цвят – това е равно на кубичен корен от (х плюс 1), на трета степен, минус 1. Ако взема кубичен корен от (х плюс 1) и го повдигна на трета степен, това ще ми даде просто (х плюс 1). Тази част се опростява до (х плюс 1), а после изваждам 1, така че това се опрости до х. Остана ни само х. f(g(х)) е просто х. Нека видим колко е g(f(х)). g(f(х)) ще е равно на – ще го направя ето тук – това ще е равно на кубичен корен от – нека го запиша... Където видя х, ще напиша вместо това f(х), не направих това последния път, а направо преминах напред и замених с израза за f(х), но просто за да поясня какво правя – навсякъде, където видя х, го замествам с f(х). Кубичен корен от f(х) плюс 1, минус 7. Това ще е равно на кубичен корен от f(х), което е всичко това тук. Тоест ще имам (х плюс 7) на трета, минус 1, и после добавям 1. И после изваждаме 7. За щастие изваждаме 1 и добавяме 1, тези се унищожават. После ще вземем кубичен корен от (х плюс 7) на трета. Кубичен корен от (х плюс 7) на трета степен ще е просто (х плюс 7), така че това ще е (х плюс 7), тоест всичко това тук се опростява до (х плюс 7). А после изваждаме 7. Тези двете се унищожават и ни остава единствено х. Виждаме нещо много интересно. f(g(х)) е просто х и g(f(х)) е просто х. В този случай, ако започнем с х и го въведем във функцията g, и получим g(х)... Получаваме g(х) и после въведем това във функцията f, f(g(х)) ни връща обратно към х. Връща ни обратно до х. Един вид направихме пълна обиколка. Същото нещо се случва ето тук. Ако въведа х в f(х)... Извинявай, ако въведа х във функцията f и получа f(х) – резултатът ще е f(х), после въвеждам това във функцията g и отново правя тази пълна обиколка, и се връщам обратно до х. Друг начин да помислим за това е, че и двете са съставни функции. Един начин да помислим за това е: ако това е множество от всички възможни аргументи в която и да е от тези съставни функции, а после това са резултатите. Тоест започваш с х, първо ще направя този случай, g е съпоставяне, нека запиша това, g ще е съпоставяне от х към g(х). Това прави g. Функцията g извежда от х някаква стойност, g(х). А после ако приложиш f към тази стойност ето тук, g(х), ще се върнеш обратно до х. Това е f(g(х)). И обратно. Ако започнеш с х и приложиш първо f(х), ако започнеш с f, нека направя това, ако приложиш първо f(х), виждаш, че стигаш до тази стойност – това е f(х). Когато приложиш функцията g към това, се връщаш обратно. Това g(f(х)), трябва да кажа, или g(f) – прилагаме функцията g към стойността f(х). И след като и в двата случая имаме пълно завъртане, знаем, че функциите g и f са обратни една на друга. Всъщност можем да запишем, че f(х) е равно на обратната функция на g(х) и обратно. g(х) е равно на обратната функция на f(х). Надявам се, че това ти хареса.