Доказателство: √2 е ирационално

В това видео искам да докажа, че корен квадратен от 2 е ирационално число. Ще направя това с доказване чрез противоречие. А доказването чрез противоречие се основава на допускане на противоположното. Така че това е целта ни. Но за нуждите на доказателството нека допуснем обратното. Нека допуснем, че корен квадратен от 2 е рационално число. И след това ще видим, че ако това ни доведе до противоположното, това действително не може да е вярно. И ако това не може да да е рационално, ако достигнем до опровержение на предположението, че корен квадратен от 2 е рационално число, тогава трябва да заключим, че корен квадратен от 2 трябва да бъде ирационално число. И така – нека приемем обратното. Корен квадратен от 2 е рационално число. Ако корен квадратен от 2 е рационално, това означава, че можем да напишем корен квадратен от 2 като отношение на две цели числа a и b. Можем също да приемем, че те нямат общ множител. Ако те имат някакъв общ множител и разделим числителя и знаменателя на този общ множител, тогава попадаме в ситуация, където нямат общ множител. Или друг начин да го кажем е, че a и b са взаимно прости числа. Или друг начин да го кажем е, че можем да представим това като отношение на две прости числа, където това не може да бъде съкратено. Те нямат никакви общи множители. Ако можеш да представиш нещо като отношение на две цели числа, тогава очевидно можеш да го опростиш още, да изнесеш някакви общи множители, за да го доведеш до вид, в който то няма да може да бъде съкратено. Така че аз ще предположа, че a и b, че тази дроб тук, е неразложима. Това е важно за установяване на противоположното. Аз ще предположа, че това тук не може да бъде съкратено. Неразложимо е. a и b нямат никакви общи множители. Нека напиша това отдолу, защото е много важно за това доказателство. a и...- искам да използвам този същия цвят... a и b нямат общи множители, различни от... предполагам 1. Никакви общи множители, различни от 1. Така че това не може да бъде съкратено. Тези две числа са взаимно прости числа. И какво означава това за нас? Нека просто се опитаме да преработим това малко. Нека повдигнем на квадрат и двете страни на това уравнение. Ако повдигнете на квадрат корен квадратен от 2, ще получите 2. А това ще бъде равно на a^2/b^2. Това идва просто от (a/b)^2 и е същото нещо като a^2/b^2. Сега можем да умножим и двете страни на това по b^2. Получаваме 2b^2 = a^2. Какво ни казва това за a^2? a^2 е някакво число, b^2 по 2. Нещо по 2 ще бъде – това ще бъде цяло число. Приехме, че b е цяло число, така че b^2 трябва да бъде цяло число, така че имаш цяло число по 2. Това трябва да ти даде четно число. Това трябва да ти дава четно цяло число. Така че това тук, a^2, трябва да бъде – това ни казва, че a^2 трябва да бъде четно. Защо това е интересно? a^2 е произведението от две числа, или произведението от еднакви числа. То е a по a. Това е друг начин да кажем, че a по a е четно число. Какво ни казва това за a? Нека просто си припомним. a или ще бъде... приемаме, че a е цяло число, a ще бъде или четно, или нечетно. Просто трябва да си припомним, че ако умножим четно по четно, получаваме четно число. Ако умножим нечетно по нечетно, получаваме нечетно число. Имаме числото, умножено по него самото. Получаваме четно число. Добре, единствения начин да получим това, е ако това число е четно. Така че, това ни показва, че a е четно. Друг начин да кажем, че a е четно, е да кажем, че a може да бъде представено като произведението от 2 по някакво цяло число. Нека кажем някакво цяло число k. На къде отива всичко това? Както ще видиш, сега можем да използваме това, за да покажем, че b трябва също да бъде четно. Нека помислим малко върху това. Нека се върнем обратно към тази стъпка тук. Ако кажем, че a може да бъде представено като два пъти произведението на някакво цяло число и това идва от факта, че a е четно. Тогава можем да напишем отново този израз тук като 2... ще го направя тук. 2 по b^2 е равно на (2k)^2. Вместо a^2, мога да напиша 2k^2. Ние твърдим, или ние заключаваме, че на основание всичко, което предположихме, че a е четно число. Ако a е четно, то може да бъде представено като произведение от 2 и някакво цяло число. И тогава можем да напишем, че 2 по b^2 е равно на 4k^2. След това разделяш двете страни на 2. Получаваш b^2 = 2k^2. И това ни казва, че k^2 е цяло число. Умножаваш произволно цяло число по 2 и ще получиш четно число. Така че това ни казва, че b^2 е четно. Това ни казва, че b^2 е четно число. И ако b^2 е четно, по същата логика, която току-що използвахме, това ни казва, че b е четно число, Ето го нашето опровержение. Приехме в началото , че a и b нямат общи множители, различни от 1. Приехме, че тази дроб a/b, не може да бъде съкратена. Но от това, и от факта, че a/b трябва да бъде равно на корен квадратен от 2, бяхме в състояние да заключим, че a е четно и b е четно число. Но ако a е четно и b е четно, те и двете имат 2 като множител и тогава това не е неразложимо. Можеш да разделиш числителя и знаменателя на 2. a и b имат общ множител 2. И така, нека запиша това отдолу. Това е просто за да го изясня. От това и това имаме a и b имат общ множител 2, което означава, че a върху b е съкратимо. Така че това е противоречието. Това е опровержението. Приемаш, че квадратният корен от 2 може да бъде представен като несъкратима дроб a/b, несъкратима, защото можеш да кажеш, че е отношение на две цели числа тук, и това те отвежда до обратното на това, че то всъщност може да бъде съкратимо. Ето защо не можеш да направиш това предположение. То те води до противоречие. Корен квадратен от 2 трябва да бъде ирационално число.