Доказателство: квадратните корени на прости числа са ирационални числа

В предишното видео използвахме доказването чрез противоречие, за да покажем, че корен квадратен от 2 е ирационално число. Това, което искам да направя в това видео, е по същество да използвам същия аргумент, но да го направя в по-общ план и да покажа, че квадратния корен от всяко едно просто число е ирационално число. Нека предположим, че p е просто число, Ще използваме доказателство чрез противоречие. Ще приемем, че корен квадратен от p е рационално и ще видим дали това ни води до някакво противоречие. И така, ако нещо е рационално, това означава, че можем да го представим като отношение на две цели числа. И ако можем да представим нещо като отношение на две цели числа, това означава, че можем също да го представим като отношение на две взаимно прости числа, или две цели числа, които нямат общ множител. Или можем да го представим като дроб, която е неразложима. И така, приемам, че тази дроб, която пиша тук: a/b е неразложима дроб. Това да е рационално означава, че мога да представя квадратния корен на р като някаква дроб, като отношение на две цели числа. И ако мога да представя нещо като отношение на две цели числа, мога да продължа да разделям и числителя, и знаменателя на общи делители, докато евентуално не получа неразложима дроб. И така, приемам, че това е, до което сме достигнали. Това не може да бъде съкратено. И това е важно за доказателството – не може да бъде съкратено. Което е друг начин да кажем, че a и b са взаимно прости числа, което е друг начин да кажем, че a и b не споделят общи множители, различни от 1. Нека видим дали можем да преработим това малко. Нека вземем квадрата от двете страни. Получаваме p е равно на... добре, (a/b)^2 е същото нещо като a^2/b^2. Можем да умножим и двете страни по b^2 и получаваме b^2p = a^2. Какво ни казва това за a^2? b е цяло число, така че b^2 също трябва да бъде цяло число. Цяло число по p е равно на a^2. Това означава, че p трябва да бъде множител на a^2. Нека запиша това. a^2 е кратно на p. И какво ни казва това за a? Означава ли това, че a трябва също да бъде кратно на p? За да разберем това, нека помислим върху разлагането на прости множители на a. Нека кажем, че a може да бъде – и всяко едно число – може да бъде представено като произведение от прости числа. Или всяко едно цяло число, би трябвало да кажа. Така че нека представим това като произведение от прости числа ето тук. Нека кажем, че имам първия основен множител по втория основен множител, всичко до n-тия множител. Не знам всъщност колко основни множителя има a. Просто казвам, че a е някакво цяло число тук. Това е разлагането на прости множители на a. Какво ще бъде разлагането на прости множители на a^2? a^2 е просто a по a. Неговото разлагане на прости множители ще бъде f1 по f2, всичко до fn. И после това, умножено по f1 по f2, по всичко до fn. Мога да ги пренаредя, ако искам. f1 по f1, по f2, по f2, всичко до fn по fn. Вече знаем, че a^2 е кратно на p. p е просто число, така че p трябва да бъде едно от тези числа при разлагането на прости множители. p може да бъде f2, или p може да бъде f1, но p трябва да бъде едно от тези числа при разлагането. p трябва да бъде един от тези множители. Ако това е така, нека кажем... и аз просто ще избера едно от тях произволно. Нека кажем, че p е f2. Ако p е f2, това означава, че p е също множител на a. Това ни позволява да заключим, че a е кратно на p. Или по друг начин казано, можем да представим a като някакво цяло число, умножено по p. Някакво цяло число по p. Сега, защо това е интересно? И всъщност... нека оградя това, защото ще използваме тази част по-късно. Но как можем да използваме това? Точно както направихме при доказването на корен квадратен от 2, че е ирационално, нека сега заместим обратно в това уравнение тук. Получаваме b^2 по p. Имаме b^2 по p е равно на a^2. Добре, a... сега казваме, че можем да представим това като някакво цяло число k по p. Така че можем да представим това като някакво цяло число k по p, Така че нека да видим – ако умножим това, получаваме b^2 по p... и вероятно виждаш накъде отиваме – b^2 по p е равно на k^2 по p^2. Можем да разделим двете страни на p и получаваме b^2 = pk^2. Или k^2 по p. Същият аргумент, който използвахме, ако a^2 = b^2p, това ни показва, че a^2 = ap. Сега го имаме по другия начин. b^2 е равно на някакво цяло число на квадрат, което все още ще бъде цяло число, умножено по p. Така че b^2 трябва да бъде кратно на p. Това ни показва, че b^2 е кратно на p. b^2 е кратно на p. И по пътя на логиката, която приложихме тук, това ни показва, че b е кратно на p. И това е противоречието или на това се основава опровержението на това, което предположихме в началото. Приехме, че a и b са взаимно прости числа, че те не споделят общи множители, различни от 1. Приехме, че това не може да бъде съкратено. Но ние току-що установихме само от това, ние заключихме, че a е кратно на p и b е кратно на p. Което означава, че тази дроб може да бъде съкратена. Можем да разделим числителя и знаменателя на p. Така че това е противоречието. Започнахме, като приехме, че това не може да бъде съкратено, но след това показахме, че то трябва да бъде съкратено. Числителят и знаменателят имат общ множител p. Така че установихме противоречие. Корен квадратен от p не може да бъде рационално число. Корен квадратен от p е ирационално. Нека просто го запиша. Корен квадратен от p е ирационално число, поради противоречието, до което доведе нашето допускане на обратното.