If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:2:46

Доказателство: сбор и произведение от две рационални числа е рационално число

Видео транскрипция

Искам в това видео да поразсъждавам Това, което искам да направя във видеото, е да помисля, дали произведението или сборът на рационални числа непременно ще бъдат рационално число. Нека първо разгледаме произведението на рационални числа. Ако имам едно рационално число и... Всъщност нека вместо да пиша думата рационално, просто да го представя като отношение на две цели числа. И така, имам едно рационално число тук. Мога да го представя като a/b. И ще го умножа по друго рационално число, което също ще представя като отношение на две цели числа, m и n. Какво ще бъде това произведение? В числителя ще имам аm. Ще имам а по m. А в знаменателя ще имам b по n. а е цяло число, m е цяло число. Следователно имаме цяло число в числителя. b също е цяло число и n е цяло число. Следователно имаме цяло число и в знаменателя. И така, сега произведението е отношението на двете цели числа тук, така че произведението е също рационално число. Следователно това е също рационално число. Следователно произведението на две произволни рационални числа е рационално число. Да видим дали същото важи и за сбора от две рационални числа. Да кажем, че първото рационално число е а/b или можем да го представим като а/b, а второто рационално число може да бъде представено като m/n. Как ще ги събера? Ами мога да намеря общ знаменател, като най-лесният е b по n. Нека умножа тази дроб. Умножавам това по n в числителя и по n в знаменателя. И нека умножа това по b в числителя и по b в знаменателя. Сега ги написахме така, че да имат общ знаменател bn. Това ще бъде равно на an плюс bm, цялото върху b по n. За b по n току-що доказахме, че то определено е цяло число. А какво имаме тук отгоре? Имаме а по n, което е цяло число, и b по m, което е друго цяло число. Сборът от две цели числа ще бъде цяло число. Следователно имаш цяло число върху цяло число. Имаш отношение на две цели числа. Така че сборът от две рационални числа ще ни даде друго такова. Това ето тук беше рационално число и това ето тук е рационално число. Следователно, ако търсиш произведението от две рационални числа, ще получиш рационално число. Ако търсиш сбора от две рационални числа, ще получиш рационално число.