Въведение към общ вид на линейните уравнения

Вече разгледахме няколко начина за записване на линейни уравнения. Можеш да ги напишеш по дадени ъглов коефициент и пресечна точка, където ще бъдат във вида у =mх + b, където m и b са константи. m е коефициентът на този член тук, mx, и m ще представя ъгловия коефициент (наклона). И след това от b можеш да намериш пресечната точка с оста у. Можеш да намериш пресечната точка с оста у от b. Буквално графиката, съставена от двойките ху, които удовлетворяват това уравнение, пресича оста у в точката (0; b). И нейният ъглов коефициент (наклон) е m. Вече видяхме това много пъти. Виждали сме също, че можем да запишем уравнението по дадени ъглов коефициент и точка от правата. Нека го изясня. Това е по дадени ъглов коефициент и пресечна точка. Уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка. Това са просто различни начини на записване на едни и същи уравнения. Можеш алгебрично да преработиш уравнението от един вид в друг. Друг начин за писане е по дадени ъглов коефициент и точка от правата. Уравнение по дадени ъглов коефициент и точка от правата. Като за вида по дадени ъглов коефициент и пресечна точка... За едно уравнение, за което правата, която представя решенията му, има ъглов коефициент (наклон) m... Наклонът е равен на m. Но ако знаеш, че х = а и у = b удовлетворяват това уравнение, тогава по дадени ъглов коефициент и точка можеш да изразиш уравнението като у – b = m * х – а. Това е видът на уравнението по дадени ъглов коефициент и точка от правата. Но в това видео искам да получа друга форма, която може би вече си виждал. Това е нормалният вид на уравнението. Нормален вид. Нормалният вид има формата Aх + Bу = C, където A, B и C са цели числа. Това, което искам да направя във видеото, както направихме при уравненията по дадени ъглов коефициент и точка от правата и ъглов коефициент и пресечна точка, е да намеря кога е полезен нормалният вид, и за какво е по-малко подходящ? Нека дадем един реален пример тук. Имаме линейното уравнение, което е в нормален вид, 9х + 16у = 72. И искаме да го начертаем. Нещото, за което нормалният вид е наистина подходящ, е намирането не само на пресечната точка с оста у, за пресечната точка с оста у е по-добре да използваме уравнението по дадени ъглов коефициент и пресечна точка, но можем да намерим доста лесно от нормалния вид пресечните точки с осите х и у. Пресечната точка с оста х не е толкова лесно да намерим от тези други форми тук. И така, как ще го направим? За да намерим пресечните точки с осите х и у, нека просто направим малка таблица тук, за х и у. Пресечната точка с оста х е при у = 0. А пресечната точка с оста у е при х = 0. Когато у = 0, какво е х? Когато у = 0, 16 * 0 = 0, този член изчезва и оставаш с 9х = 72. Така че, ако 9х = 72, 72/9 = 8. Следователно х = 8. Още веднъж, това беше доста лесно за намиране. Този член изчезва и трябва само да изчислиш: 9х = 72, х = 8. Когато у = 0, х = 8. Така че точката, да видим, у е 0; х е 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Това е тази точка тук. Тази точка тук е пресечната точка с оста х. Когато говорим за пресечната точка с оста х, имаме предвид точката, в която правата пресича оста х. Сега, какво ще кажем за пресечната точка с оста у? Добре, х = 0, това изчезва, оставаме с 16у = 72. И по този начин можем да решим това. Добре, имаме 16у = 72. Можем да разделим двете страни на 16. Получаваме у = 72 / 16. Да видим, на какво е равно това? Това е равно на... и двете се делят на 8, така че това е 9 / 2. Или можем да кажем, че това е 4,5. Когато х = 0, у = 4,5. И така, можем да нанесем също и тази точка. х = 0, у е 1, 2, 3, 4,5. И само с тези две точки, като две точки са достатъчни да начертаем една права, сега можем да я начертаем. И така, да го направим. Нека... упс, мислех че използвам инструмента, който ще начертае права линия. Да видим, дали мога... Така че правата ще изглежда по следния начин. Ето получихме я. Току-що начертах, правата, която представя всички двойки х и у, които удовлетворяват уравнението 9х + 16у = 72. Споменах, че нормалният вид е подходящ при определени неща, и там, където нормалният вид е подходящ, където може би по някакъв уникален начин се свързва с другите форми, които разгледахме, е много лесно да намерим пресечната точка с оста х. Беше много лесно да намерим пресечната точка с оста х от нормалния вид на уравнението. И не беше толкова трудно да намерим и пресечната точка с оста у. Ако разгледаме уравнението по дадени ъглов коефициент и пресечна точка, пресечната точка с оста у направо ти изскача насреща. Във формата по дадени точка от правата и ъглов коефициент не се виждат нито пресечната точка с оста х, нито тази с оста у. Нещото, в което формите по дадени ъглов коефициент и пресечна точка и по дадени ъглов коефицент и точка от правата са по-добри, е намирането на ъгловия коефициент (наклона) при тях, докато при нормалния вид ще трябва да направим известни изчисления. Можеш да използваш тези две точки, можеш да използваш пресечните точки с х и у като две точки, и да намериш ъгловия коефициент (наклона) от тях. Следователно буквално можеш да кажеш: "Добре, ако премина от тази точка в тази точка, промяната в х като отида от 8 до 0 е –8. И за да отида от 0 до 4,5... Написах това малко делта там излишно. Ако отидеш от 8 до 0, промяната в х е равна на –8. И за да отидем от 0 до 4,5, промяната в у ще бъде 4,5. Така че ъгловият коефициент (наклонът) е промяната в у, която е 4,5, върху промяната в х, т.е. върху –8. И тъй като не искам да имам десетична запетая тук, нека умножа числителя и знаменателя по 2. Получаваш минус 9 / 16. Сега още веднъж, трябва да преработим малко тук. Или използваме тези две точки, не го виждаме веднага от това, въпреки че може да виждаш известна закономерност за това, което се случва тук. Но все още трябва да помислим дали това е отрицателно? Дали е положително? Трябва да извършиш малко алгебрично преработване. Това, което обикновено правим, когато търсим ъгловия коефициент (наклона), е да го превърнем в една от другите форми. Особено по дадени ъглов коефициент и пресечна точка. Но нормалният вид сам по себе си е чудесен за намиране едновременно на пресечните точки на х и у и честно казано, не е толкова трудно да го превърнем в уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка. Да го направим, просто за да го изясним. Ако започнем с 9х, нека го напиша с жълто. Ако започнем с 9х + 16у = 72 и искаме да го превърнем в уравнение по дадени ъглов коефициент и пресечна точка. можем да извадим 9х от двете страни. Получаваме 16у = –9х + 72. И след това разделяме двете страни на 16. Така че разделяме всичко на 16. И ще останем с у = – 9/16х, това е ъгловият коефициент (наклонът), виждаш го точно там, +72 /16, вече намерихме, че това е 9/2 или 4,5. Така че мога да напиша просто 4,5. От този вид тук е много по-лесно да намерим наклона и пресечната точка с у също се вижда. Но пресечната точка с оста х не е толкова очевидна.