Обръщане на матрица 3 х 3 чрез детерминанти, част 1: матрица от минори и кофакторна матрица

Сега ще направя нещо, което харесвам най-малко от всичко да правя на ръка, и то е да намеря обратната матрица на матрица 3 х 3. Но това е полезно, защото чрез него могат да се решават системи от уравнения. Но ще видиш, че това включва много пресмятания. За предпочитане е това да се прави от компютър. Единственото нещо, което е по-гадно, е да се прави с матрица 4 х 4 или 5 х 5, което може да отнеме цял ден. Почти съм сигурен, че ще допусна грешки от невнимание. Но да вървим стъпка по стъпка. Първото нещо, което ще направя – това е нашата матрица 3 х 3, ще конструирам минорите на матрицата. Сега ще конструирам една матрица от минори. Ще начертая това наистина голямо, за да имаме достатъчно място. Матрицата от минори... тук за всеки елемент от тази матрица трябва да зачеркнем съответния ред и съответния стълб. И го заместваме с детерминантата от елементите, които остават. Какво остава, когато зачеркнем този ред и този стълб – минорът тук е [1;1;4;5]. Значи детерминантата на матрицата [1;1;4;5]. Да продължим по същия начин. Това ще заместим с... първо ще те оставя да помислиш. С какво ще заместим този елемент? Ще го заместим с... зачеркваме този ред и този стълб. Детерминантата на матрицата [2;1;3;5]. Да продължаваме. Сега да видим този елемент. Ще го заместим с детерминантата на – зачеркваме този ред и този стълб и остава [2;1;3;4]. Направихме една трета от нещата, поне на този първи етап. За този елемент ето тук, ще го заместим със съответния минор. Зачеркваме този ред и този стълб. Детерминантата на матрицата [–2;2;4;5]. После... опитвам се да сменям цветовете по логичен начин – сега този елемент. Зачеркваме средния ред и средния стълб. Остава детерминантата на матрицата [–1;2;3;5]. Сега да отидем при... свършват ми цветовете – да видим този елемент тук. Тук минорът е – зачеркваме този ред и този стълб – [–1;–2;3;4]. Да видим. Извинявам се, някаква автомобилна аларма се включи навън. Трябва да се съсредоточа. Не искам да допускам грешки от разсеяност. Този ред и този стълб, остава [–1;–2;3;4]. Добре. Сега да дойдем тук. Зачеркваме първия стълб и последния ред. Имаме [–2;2;1;1]. Сега да дойдем ето тук. Средния стълб, долния ред, имаме [–1;2;2;1]. И сега сме почти на финала, поне що се отнася до матриците-минори. Сега да видим този елемент ето тук. Зачеркваме последния стълб и последния ред. Остава [–1;–2;2;1]. Значи детерминантата на матрицата [–1;–2;2;1]. И сега остава само да пресметнем всички тези детерминанти, за да получим същинската матрица от минори. Това е само едно нейно представяне. Да го направим. Повтарям, ние сме още на етапа намиране на матрицата от минори. Реално вече не е нужно да правя матрицата толкова голяма, защото сега ще получим числови стойности. Вече няма да имаме детерминанти на матрици, които са с размери 2 х 2. Колко е детерминантата тук горе вляво? Тя е 1 по 5 минус 4 по 1. 1 по 5 минус 4 по 1. Значи става 5 минус 4, което дава 1. Колко е детерминантата тук, детерминантата на матрицата в синьо? Тя ще бъде 2 по 5, което е 10, минус 3 по 1. Значи 10 минус 3, това дава 7. Колко е детерминантата тук горе вдясно, колко е тя? Имаме 2 по 4, дава 8, минус 3 по 1. Значи 8 минус 3, което е 5. Сега да дойдем ето тук. Колко ще бъде тази детерминанта? Имаме –2 по 5, което е –10, минус 4 по 2. Значи –10 минус 8, което е минус 18. После имаме –1 по 5, което е –5, минус 3 по 2. Това е –5 минус 6, което дава –11. Искам да напиша това с бял цвят, –11. Колко ще бъде тази детерминанта? Имаме –1 по 4, дава –4, минус –6. Това е –4 плюс 6, което е плюс 2. Искам да направя това и това – значи това е +2. Останаха ни още три детерминанти. Колко е това? –2 по 1 дава –2, минус 1 по 2. Значи това е –2 минус 2, което дава –4. Почти стигнахме финала. –1 по –1 е –1 (Сал допуска двойна грешка, правилното е –1 по 1 е –1), минус 2 по 2. Значи –1 минус 4, това дава –5. Накрая остана –1 по 1, което е –1, минус 2 по –2, значи минус –4. Става –1 минус –4. Това е същото като да добавим 4. –1 плюс 4, което дава плюс 3. И това тук е нашата същинска матрица от минори. Сега можем да намерим... Ще получим нашата адюнгирана матрица, просто като си припомним модела на шахматната дъска. Шахматният модел означава да редуваме знаците: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус, плюс. Тук е доста очевидно защо това се нарича модел на шахматната дъска. Ако запишем тази матрица от минори съгласно този модел, ние ще получим матрицата от адюнгирани количества. Хайде да конструираме матрицата от адюнгирани количества. Това е нашата матрица от адюнгирани количества. Тук въвеждам много нови термини, но се надявам, че схващаш логиката. Матрицата от адюнгирани количества. Просто трябва да поставим тези знаци на тези стойности, да ги приложим към матрицата от минори. Към тази единица прилагаме знак плюс. Пак ще бъде плюс 1. После имаме 7, но към него прилагаме знак минус. Значи става минус 7. Имаме 5, ще бъде плюс 5. Това 5 вече е със знак плюс. Умножаваме го по плюс 1, и то остава положително. Имаме –18, но сега трябва да го умножим по –1. Значи става плюс 18. Имаме –11, умножаваме го по плюс 1. Остава си –11. Имаме плюс 2, умножаваме по –1, получаваме –2. Имаме –4, умножаваме по +1, остава си –4. После имаме –5. Колко ще бъде това в матрицата от адюнгирани количества? Имаме –5, умножаваме го по –1. Това става плюс 5. Накрая имаме плюс 3, умножаваме по +1, остава плюс 3. Стигнахме доста далеч в нашето приключение, това толкова трудоемко приключение – нещо, което аз не харесвам особено – за намиране на обратната матрица като използваме нашата матрица от адюнгирани количества. Сега само трябва да намерим детерминантата на първоначалната матрица, да умножим транспонираната матрицата на матрицата, образувана от адюнгираните количества по 1 върху тази детерминанта и ще сме готови, ще сме намерили обратната матрица на нашата матрица С.