Обръщане на матрица 3 х 3 по метода на Гаус

Сега ще ти покажа любимия ми начин за намиране на обратната матрица на матрица с размери 3 х 3. Смятам, че този начин е много по-забавен. При него е много по-малко вероятно да се допускат грешки от невнимание. Ако си спомням правилно от часовете по алгебра 2, това не се преподава там. Ето защо първо ти показах другия начин. Сега да се заемем с този. В следващо видео ще ти покажа логиката на този метод, защото това винаги е важно. Но линейната алгебра е един от малкото случаи, в които, според мен, е много важно първо да се научи как се извършват операциите. След това ще научим защо ги извършваме, защото за целта трябва да владеем техниката. Всъщност този метод включва елементарни аритметични действия в по-голямата си част, но обяснението на логиката му е много задълбочено. Така че ще оставя това за следващи видео уроци. Често можеш да разсъждаваш върху нещата в дълбочина, когато имаш увереност, че разбираш как да ги правиш. Както и да е, да се върнем към нашата оригинална матрица. Каква беше матрицата, с която работихме в предишното видео? Тя беше [1;0;1;0;2;1;1;1;1]. Искаме да намерим обратната матрица на тази матрица. Сега ще направим това с помощта на метода за елиминиране на Гаус-Жордан, чрез който намираме обратната матрица на дадена матрица. Начинът, по който става това – това може да ти се стори малко като магия, може да изглежда като някакво вуду, но мисля, че ще видиш в следващите видеа, че то е много логично. Тук ние разширяваме нашата матрица. Какво означава да разширим една матрица? Това означава, че просто добавяме нещо към нея. Така че чертая една разделителна линия. Някои хора не го правят. Значи тук поставям разделителна черта. Какво поставяме от другата страна на разделителната линия? Поставяме единична матрица със същия размер. Това е матрица 3 х 3, затова поставям тук единичната матрица 3 х 3. Тя е [1;0;0;0;1;0;0;0;1]. Сега какво ще направим? Сега ще направим поредица от елементарни операции по редовете. Първо ще ти кажа кои са допустимите операции по редовете на тази матрица. Всичко, което направя с тези редове тук, трябва да направя и с тези редове тук. Искам да извърша поредица от операции от лявата страна. Разбира се, същите операции трябва да извърша и в дясната страна, така че евентуално накрая да получа единичната матрица в лявата страна. После, когато получа единична матрица отляво, това, което ми остане отдясно, ще бъде обратната матрица на първоначалната ни матрица. Когато преобразуваме тази част в единична матрица, това всъщност се нарича ешелонна форма на матрицата. Ще говоря повече за тази форма. В линейната алгебра има много термини и наименования, но зад тях се крият съвсем прости концепции. Сега да започваме и нещата ще ти станат много по-ясни. Ще разбереш поне процеса, може би няма да разбереш защо го правим. Първо, казах, че ще изпълним поредица от операции. Кои са допустимите операции? Те се наричат елементарни операции по редове. Можем да направим няколко неща. Можем да заместваме даден ред със същия ред, умножен по някакво число. Можем да го направим. Можем да разменяме два реда. Ако разменим първия и втория ред тук, трябва да го направим и от тази страна. Можем да събираме и изваждаме даден ред от друг ред. Когато го правим – например, можем да вземем този ред и да го заместим с този ред, събран с този ред. След малко ще видиш какво имам предвид. Както се досещаш, ако ги събереш, можеш да кажеш, че умножаваш този ред по минус 1, и после го прибавяш към този ред, а с полученото заместваш този ред. Ако ти се струва, че това донякъде прилича на това, което учи при решаването на системи от линейни уравнения, това не е просто съвпадение. Защото матриците всъщност са добър начин да представим такива системи от уравнения и аз ще ти го покажа скоро. Сега да извършим някои елементарни операции по редовете, за да преобразуваме лявата страна на матрицата в ешелонна форма. Това е просто засукан начин да кажем, че ще я превърнем в единична матрица. Да видим какво да направим. Искам да имам единици навсякъде ето тук. Искам тези елементи да станат нули. Да видим как можем да го направим на практика. Ще начертая отново матрицата. Тук искаме да получим нула. (сочи елемента в трети ред, първи стълб) Това ще ни е удобно. Ще запазя горните два реда непроменени. 1, 0, 1. Тук е разделителната линия. 1, 0, 0. Тук не правя нищо. Не променям втория ред. 0, 2, 1. 0, 1, 0. Сега ще заместя този ред... Само да ти обясня защо го правя – целта ми е да получа нула ето тук. (сочи елемента в трети ред, първи стълб) Така ще се приближа до това да получа единична матрица ето тук. Как да получа нула тук? Мога да заместя третия ред с този ред минус този ред. Значи замествам третия ред с третия ред минус първия ред. Какво получаваме като извадим от третия ред първия? 1 минус 1 е 0. 1 минус 0 е 1. 1 минус 1 е 0. Направих това отляво, а сега трябва да го направя и отдясно. Ще заместя третия ред с третия ред минус първия. Значи 0 минус 1 е –1. 0 минус 0 е 0. 1 минус 0 е 1. Добре. Сега какво можем да направим? Този ред ето тук, третият ред съдържа 0 и 0... прилича много на това, което искаме да получим във втория ред на единичната матрица. Защо просто не разменим тези два реда? Защо просто да не разменя първия и втория ред? (Сал сочи на екрана втория и третия ред) Да го направим. Да разменим първия и втория ред. (Сал греши, той разменя втория и третия ред) Значи първия ред остава непроменен. 1, 0, 1. Другата страна остава същата, разбира се. Сега разменям втория и третия ред. Сега вторият ни ред е 0, 1, 0. Разменям и отдясно. Значи това е –1, 0, 1. Просто разменям тези два реда. После третия ред сега става това, което тук беше втори ред. 0, 2, 1 и 0, 1, 0. Добре. Какво да направим сега? Ще е добре, ако тук е нула, (елементът в трети ред, втори стълб) така се приближаваме доста до желаната единична матрица. Как да получим тук 0? Например да извадим 2 по втория ред от първия ред? Така ще получим 1 по 2, което е 2. Ако го извадим от това 2, тогава тук ще получим 0. Да го направим. Първият ред има голям късмет. С него не правим нищо. Той просто си стои тук. 1, 0, 1, 1, 0, 0. Вторият ред засега няма да променяме. –1, 0, 1. Какво казах, че ще направим? Ще извадим 2 по втория ред от третия ред. Значи това е 0 минус (2 по 0), което е 0. 2 минус (2 по 1), което е 0. 1 минус (2 по 0) е 1. 0 минус (2 по –1) е... да си спомним, 0 минус 2 по –1. Значи 0 минус –2, това е плюс 2. 1 минус (2 по 0). Това е 1. 0 минус (2 по 1). Това е–2. Правилно ли го направих? Просто искам да съм сигурен. 0 минус (2 по –1) е –2. Изваждаме, така че става плюс. Почти сме готови. Това почти изглежда като единична матрица или като ешелонна форма, освен тази единица ето тук. Сега накрая ще се заемем с горния ред. Какво можем да направим? Защо да не заместим горния ред с горния ред минус последния ред? Ако извадим това от това, тук ще получим нула. Да го направим. Да заменим горния ред с първия ред минус третия ред. Значи 1 минус 0 е 1. 0 минус 0 е 0. 1 минус 1 е 0. Това беше целта ни. После 1 минус 2 е –1. 0 минус 1 е –1. 0 минус –2 е плюс 2. Следващите два реда остават непроменени. 0, 1, 0, –1, 0, 1. После 0, 0, 1, 2, 1, –2. И сме готови. Извършихме поредица от действия от лявата страна. Извършихме същите действия и от дясната страна. Получихме единична матрица или преобразувахме матрицата в ешелонна форма. За целта използвахме метода на Гаус-Жордан. Какво е това? Това е обратната матрица на първоначалната матрица. Това по това е равно на единичната матрица. Ако това е матрицата А, това е матрицата А обратна. Това е всичко, което трябва да се направи. Както виждаш, това ни отне половината време и много по-малко пресмятания, отколкото когато използвахме адюнгиране, адюнгирани количества и детерминантата. Ако помислиш върху това, ще ти дам малка подсказка защо това работи. Всяка от тези операции, които направих отляво, можем да разглеждаме като умножаване – разбираш, за да стигнеш от тук до тук, умножаваме. Можеш един вид да кажеш, че имаме матрица. Ако умножим по тази матрица, трябва да извършим тази операция. После трябва да умножа по друга матрица, за да извърша тази операция. По същество това, което направихме, е да умножим по серия от матрици, за да стигнем ето тук. Ако умножим всички тези т.нар. елиминационни матрици едни по други, по същество умножаваме това по обратната матрица. Какво имам предвид? Ако имаме матрицата А, за да стигнем от тук до тук, трябва да умножим А по някаква елиминационна матрица. Ако това ти се струва много объркващо, тогава го игнорирай, ако е така, но това може да ти е полезно. Какво елиминирахме тук? Елиминирахме 3 и 1. Умножихме по елиминационната матрица [3;1], за да стигнем до тук. После, за да отидем от тук до тук, умножихме по някаква матрица. Ще ти кажа още нещо. Ще ти покажа как да конструираш тези елиминационни матрици. Тук умножаваме по елиминационна матрица. Всъщност тук разменихме редовете. Не знам как да нарека това. Можеш да го наречеш "разместваща" матрица. Разменихме втория и третия ред. После тук умножихме по елиминационна матрица – какво направихме? Елиминирахме това, тук беше 3, стълбът беше 2, 3, 2. Накрая, за да получим това, умножихме отново по елиминационна матрица. Искахме да елиминираме тези елементи ето тук. Така че елиминирахме елемента в първи ред трети стълб. Искам да знаеш, че не е важно какви са тези матрици. Ще ти покажа как да конструираш такива матрици. Искам просто да ми се довериш, че всяка от тези операции може да се извърши чрез умножение с някаква матрица. Но знаем, че като умножаваме с всички тези матрици, накрая получаваме единична матрица. Обратно тук. Значи комбинацията от всички тези матрици, когато намираме техните произведения, това дава обратната матрица. Ако умножим всяка от тези елиминационни матрици и "разместващи" матрици, трябва да получим матрицата А обратна. Защото, ако умножа всички тези матрици по матрицата А, получавам А обратна. Какво се случи? Ако тези матрици заедно са обратната матрица, ако ги умножим, ако умножим единичната матрица по тях, тогава елиминационната матрица, това по това дава това. Това по това дава това. Това по това дава това. И така нататък. По същество умножавам... когато комбинираме всички тези... обратната матрица по единичната матрица. Ако помислиш за голямата картина – но всъщност не искам да те обърквам. Достатъчно е засега ако просто разбираш какво направих. Но това, което следва от всички тези стъпки, по същество умножаваме двете страни на тази разширена матрица, както можеш да я наричаш, по обратната матрица. Значи умножавам това по матрицата А обратна, за да получа единичната матрица. Разбира се, ако умножа матрицата А обратна по единичната матрица, ще получа обратната матрица. Както и да е, не искам да те обърквам. Надявам се, че поне малко ти показах логиката. По-късно ще направя видео с конкретни примери. Надявам се, че осъзнаваш, че тук има много по-малко сметки, отколкото при адюнгираните количества, минорите на матрици, детерминантите и прочие. Ще се видим в следващия видео урок.