Преобразуване на многоъгълници с помощта на матрици

Вече използвахме трансформираща матрица, за да преобразуваме една точка. В това видео ще покажа как се трансформират поредица от точки. Имаме тези позиционни вектори: Р1, Р2 и Р3, които съм начертал тук. Дори можеш да си ги представиш като върхове на триъгълник, който изглежда ето така: това е едната страна, това е другата, а това е третата. Любопитно ми е какво ще стане, ако трансформирам тези три точки. Както в предното видео, мога да приложа тази трансформираща матрица поотделно към всяка точка, за да видя в какво ще се преобразуват. А мога и да взема тази трансформираща матрица и да я умножа по матрица, съставена от тези позиционни вектори. Нека да го направя. Нека да взема моята трансформираща матрица. Ще копирам и поставя. Копирам и поставям. Ще взема трансформиращата матрица и ще я умножа по матрица, която съдържа всичките три позиционни вектора. Всяка една колона от матрицата ще бъде един от тези позиционни вектори. Първата ще бъде 2, 1. После имаме –2, 0. После имаме 0, 2. Можем да го разглеждаме сякаш взимаме трансформиращата матрица и я умножаваме по матрица, съставена от: първата колона е позиционен вектор 1, втората колона е позиционен вектор 2, а третата колона е позиционен вектор 3. Какво ще ни даде това? Това е матрица 2 х 2. Умножаваме я по матрица 2 х 3. Следователно умножението тук е дефинирано, защото броят на колоните е равен на броя на редовете тук. Ще получим матрица 2 х 3. Следователно 2 реда и 3 колони, които представят три нови позиционни вектора. Какви ще бъдат те? Хайде да го направим стъпка по стъпка. Първият елемент: първи ред, първа колона. Този ред по тази колона. Следователно 2 по 2, което е 4, плюс 1 по 1, следователно 4 плюс 1, което е равно на 5. Нека го направя в различен цвят. –1 по 2 е –2, плюс 2 по 1, което е 2. Следователно –2 плюс 2, което е 0. Вече виждаме как се трансформира (2; 1) в (5; 0). 1, 2, 3, 4, 5. Ако бележим това Р1, това ще бъде Р1 прим, т.е. Р1 след нашата трансформация. Хайде да направим за Р2. 2 по –2 е –4, плюс 1 по 0, следователно –4 плюс 0, което е просто –4. После –1 по –2 е 2, плюс 2 по 0, което просто е 0. Следователно 2 плюс 0, което е 2. Получихме (–4; 2). Ето тук. Това е Р2. Това тук беше Р2. Това е Р2 прим. Това е позиционен вектор Р2 прим или позицията, която позиционният вектор Р2 прим посочва. Накрая да видим Р3. Имаме 2 по 0, което е 0, плюс 1 по 2, следователно 0 плюс 2 или просто 2. После имаме –1 по 0, което е 0, плюс 2 по 2, което е 4. Получаваме точката (2; 4). 2, после 1, 2, 3, 4... Идваме тук. Това тук е Р3. Това е Р3 прим. Нещо интересно се случи. Сега можем да си представим, че имаме върховете на нов триъгълник. Нов триъгълник, който изглежда ето така. Изглежда горе-долу така. Можем да си представим... Всъщност, нека го начертая. Ще начертая новия триъгълник със син цвят, за да го виждаме по-добре. Започнахме с този по-малък триъгълник, и завършихме с по-големия. Това тук е по-малкия. Това е по-малкият ни триъгълник, а това е по-големият. Можем да го разгледаме и като трансформация на целия този триъгълник. Сега само трансформирахме върховете, но всъщност излезе... Не го доказвам в това видео, но ако трансформираш... Ако вземеш която и да е от тези точки в този триъгълник, тя щеше да е трансформирана в съответстваща точка в този по-голям триъгълник. Готиното тук е, че най-вероятно почваш да оценяваш силата на трансформиращите матрици. Надявам се, че започваш да оценяваш защо това е полезно, ако почнеш да се замисляш за неща като компютърни игри и анимации, защото това, което ни позволяват трансформиращите матрици да правим... и това е нещо, което тези компютърни програми ни позволяват да правим... е да виждаме нещата от друга перспектива. Това, което се случва зад завесите, е, че те използват трансформиращи матрици и ги умножават по координатите, за да получат нови координати според позицията или перспективата на играча, или позицията и перспективата на камерата, или виртуалната камера в графичния компютърен свят. Така че има две, или няколко готини неща тук. Не просто сме трансформирали точка, трансформирали сме три точки, които могат да представят ъглите на триъгълник. Виждаш, че е вид разширение и ротация, която изглежда се е случила, когато използвахме трансформиращата матрица. Ако използваме различна трансформираща матрица, ще получим различна трансформация. Не само, че го направихме, но и видяхме, че можем да го направим с много позиционни вектори едновременно. Можех да го направя поотделно и да получа същия резултат, но това се надявам, че започва да ти показва силата на матриците и защо може също да бъде полезно в неща като компютърна графика и анимация, и други подобни неща.