Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 20

Урок 7: Свойства на събирането на матрици и умножението по скалари.

Свойства на скаларното умножение на матрици

Свойства на скаларното умножение на матрици

Научи за свойствата на скаларното умножение на матрици (като разпределителното свойство) и как са свързани с умножението с реални числа.

В таблицата по-долу

A

B

са матрици с еднакви размери,

c

d

са скалари, а

O

е нулева матрица.

Свойство	Пример
Съдружително свойство при умножение	$(c d) A = c (d A)$ ‍
Разпределително свойство	$c (A + B) = c A + c B$ ‍
	$(c + d) A = c A + d A$ ‍
Свойство за умножение по едно	$1 A = A$ ‍
Свойство за умножение по нула	$0 \cdot A = O$ ‍
	$c \cdot O = O$ ‍
Свойства за размерите при умножение	$c A$ ‍ е матрица със същите размери като $A$ ‍.

Тази статия разглежда тези свойства.

Матрици и скаларно умножение

Матрица е правоъгълна подредба на числа в редове и стълбове (колони).

Когато работим с матрици, ние казваме на реалните числа скалари.

Терминът скаларно умножение се отнася за произведението на реално число с матрица. При скаларното умножение всеки елемент на матрицата се умножава по даден скалар.

\begin{aligned} 2 \cdot [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{ll} 2 \cdot 5 & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 10 & 4 \\ 6 & 2 \end{array}] \end{aligned}

Ако някои от тези неща са нови за теб, може да разгледаш следните статии, преди да продължиш:

Съображения относно размерите

Забележи, че скалар умножен по матрица

2 \cdot 2

, е друга матрица

2 \cdot 2

. Като цяло скаларно кратно на матрица ще бъде друга матрица със същите размери. Това се има предвид под свойство за размерите при скаларно умножение!

Скаларно умножение на матрици и умножение на реални числа

Тъй като скаларното умножение много зависи от умножението на реални числа, много от свойствата за умножение, които знаем за реални числа, ще са верни и за скаларно умножение.

Нека разгледаме поотделно всяко свойство.

Съдружително свойство при умножение: $(c d) A = c (d A)$ ‍

Това свойство твърди, че ако матрица е умножена по два скалара, можеш да умножиш първо двата скалара и после да умножиш резултата с матрицата. А можеш и да умножиш матрицата по единия скалар, и после да умножиш получената матрица по другия.

Следващият пример показва това свойство за

c = 2

d = 3

A = [\begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 8 & 1 \end{array}]

Във всяка колона на таблицата опростихме до една матрица. Забележи, че тези две матрици са равни заради съдружителното свойство при умножение на реални числа. Например

(2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5)

Това показва, че първоначалните изрази трябва да са равни също!

Разпределително свойство:

$c (A + B) = c A + c B$ ‍

Това свойство твърди, че произведението от скалар и сбор на матрици е еквивалентно на сбора от произведенията на този скалар и всяка от матриците.

Това е пример, в който

c = 2

A = [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 2 & 6 \end{array}]

Ако сравним матриците, получени като резултат във всяка колона от таблицата, виждаме че те са равни заради разпределителното свойство, което е в сила за реалните числа. Например

2 (5 + 3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3

Следователно първоначалните два израза трябва да са равни също!

$(c + d) A = c A + d A$ ‍

Това свойство твърди, че произведението на матрица по сбор от скалари е идентично на сбора от произведенията на матрицата по всеки от скаларите.

Това е пример, в който

c = 2

d = 3

A = [\begin{array}{rr} 6 & 9 \\ 7 & 4 \end{array}]

Отново виждаме, че матриците, получени в двете колони на таблицата, са еднакви поради разпределителното свойство за умножение на реални числа, което означава, че и първоначалните изрази са равни, както искахме!

Свойство за запазване на стойността при умножение по едно: $1 A = A$ ‍

Това свойство твърди, че когато умножиш коя да е матрица

A

по скалар

1

, резултатът е просто първоначалната матрица

A

Например, ако

A = [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}]

, тогава имаме:

\begin{aligned} 1 [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 1 \cdot 2 & 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot 1 & 1 \cdot 7 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{array}] \end{aligned}

Забележи, че понеже

1 \cdot a = a

за всяко реално число

a

, скаларът

1

винаги ще запазва стойността при скаларното умножение!

Свойства за умножение с нула:

$0 \cdot A = O$ ‍

Това свойство твърди, че при скаларно умножение

0

по коя да е

m \cdot n

матрица

A

е равно на нулевата матрица

m \cdot n

Това е вярно заради свойствата на умножение с нула в множеството на реалните числа. Ако

a

е реално число, знаем, че

0 \cdot a = 0

. Следващият пример показва това.

\begin{aligned} 0 [\begin{array}{rr} 3 & 8 \\ 6 & 7 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 0 \cdot 3 & 0 \cdot 8 \\ 0 \cdot 6 & 0 \cdot 7 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}

$c \cdot O = O$ ‍

Това свойство твърди, че произведението на всеки скалар и нулева матрица е равно на същата нулева матрица.

Отново това свойство е вярно заради свойствата за умножение по нула в множеството на реалните числа. Това е пример, в който

c = 3

O

е нулева матрица

2 \cdot 2

\begin{aligned} 3 [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}

Провери знанията си

След като вече познаваш всички свойства на скаларното умножение, нека да видим дали ще можеш да ги използваш, за да определиш кои изрази съдържат еквиквалентни матрици.

За задачата по-долу нека

A

B

са матрици

2 \cdot 2

и нека

c

d

са скалари.

1) Кой от следните изрази е равен на $c (1 A + B)$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

2) Кой от следните изрази е равен на $(c d) A + 0 A$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.