Нулева матрица и умножение на матрици

Правехме аналогии между умножението на матрици и традиционното умножение, или умножението на скаларни величини, и първият извод, който направихме, беше, че при традиционното умножение, когато умножиш 1 по произволно число, получаваш същото число, защото 1 е неутрален елемент при умножението. Можеш да разглеждаш 1 като число-тъждество. Оттук идва и закона за тъждественост при умножението. Умножаваш 1 по произволно число и получаваш същото число. И това ни провокира да мислим за съществуването на единични матрици. Казахме си: "Хей, може би има такива матрици, които като ги умножим по някоя друга матрица, и ще получим пак същата матрица". Мисля, че си доказахме, че можем да го правим и по двата начина. Можем да имаме някоя матрица, умножена по единична матрица, и да получим пак същата матрица. Ако матрица А тук е квадратна матрица, тогава и в двата случая тази единична матрица ще бъде една и съща единична матрица. Но ако матрица А не е квадратна матрица, тогава тези ще бъдат две различни единични матрици, зависещи от съответните размери на матриците. Сега да видим дали можем да приложим тази аналогия между традиционното умножение и умножението на матрици. Знаем, че съществува друго специално число в традиционното умножение, и то е 0. Следователно знаем, че 0 по всяко число е равно на 0. Или всичко по 0 е равно на 0. Каква ще бъде аналогията, ако разглеждаме умножението на матрици? Ще бъде някаква матрица, която ако я умножим по друга матрица, ще получа пак тази, да я наречем, нулева матрица. И така ще я наречем. Наричаме я нулева матрица. Ако взема някоя матрица А и я умножа по една от тези нулеви матрици или умножа една от тези нулеви матрици по А, би трябвало да получа отново нулева матрица. Това зависи също и от размерите на матриците. Може да не получим нулева матрица със същите размери. Зависи какви ще са размерите на А, но можеш да предположиш как би изглеждала една нулева матрица. Например, ако А е 1, 2, 3, 4, по каква нулева матрица мога да умножа, за да получа друга нулева матрица? Може би е доста просто. Ако имаше много нули тук, когато умножиш това, ще получиш следното. Смятаме скаларното произведение на този ред и тази колона. 0 по 1, плюс 0 по 3 ще бъде 0. Продължаваме 0, 0, 0, 0. За да е напълно ясно, ако имахме, да кажем, една матрица 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тук искаме да умножим по... За да проработи умножението на матрици, моята нулева матрица трябва да има същия брой колони, колкото тази има редове. Следователно трябва да има 2 колони, но мога да я направя и с 3 реда. Може да изглежда така: 0, 0, 0, 0, 0, 0 и те насърчавам да умножиш тези двете. Спри видеото сега и виж какво се получава. Нека помислим. Горният ляв елемент... Нека само да запиша размерите. Това е матрица 3 х 2, а това е матрица 2 х 3. Знаем, че умножението е дефинирано. Броят на колоните в първата матрица е равен на броя на редовете във втората. Знаем също, че полученото произведение ще бъде матрица 3 х 3. Ще получим матрица 3 х 3 и ще те оставя да потвърдиш, че всички елементи тук ще бъдат 0. Това е логично. Можеш да направиш сметките, но се вижда, че всеки път когато умножаваш, да кажем, този ред по тази колона, за да получиш този елемент, ще имаме просто 0 по 1, плюс 0 по 4, за да получим тази 0. Причината да ти показвам този пример е, че имаме една нулева матрица, която се умножава с друга матрица тук, за да получим още една нулева матрица, но тя е с различни размери от първоначалната нулева матрица.