Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 20

Урок 2: Представяне на система от линейни уравнения чрез разширени матрици

Представяне на системи от линейни уравнения чрез матрици

Научи как системите от линейни уравнения могат да бъдат представени чрез разширени матрици.

Матрица е правоъгълна подредба на числа в редове и стълбове (колони).

Матриците могат да се използват за решаване на системи от уравнения. Но първо трябва да се научим да представяме системи чрез матрици.

Представяне на линейна система чрез матрици

Система от уравнения може да бъде представена чрез разширена матрица.

В една разширена матрица един ред представя едно уравнение от системата, а всеки стълб (колона) представя една променлива или константа.

По този начин ние можем да видим, че разширените матрици са кратък начин за записване на системи от уравнения . Подредбата на числата в матрицата прави ненужно използването на различни символи като x, y и equals, и все пак цялата информация е там!

Провери знанията си

1) Коя матрица представя системата?

\begin{aligned} 2x+3y &= 8 \\ 5x+2y &=2 \\\end{aligned}

[Имам нужда от помощ!]

2) Напиши следната система от уравнения с разширена матрица.

\begin{aligned} 7x+4y &= 3 \\ 6x+3y&=5 \\ \end{aligned}

[Имам нужда от помощ!]

Нека погледнем друг пример

Сега като знаем основите, нека да погледнем малко по-сложен пример.

Пример

Представи следната система от уравнения с разширена матрица.

$\begin{aligned} 3x-2y&= 4 \\ x+5z &= -3 \\ -4x-y+3z &= 0 \end{aligned}$

Решение

За да стане по-лесно, нека да препишем системата и да покажем ясно всички коефициенти. Ако една променлива не е написана в уравнението, това означава, че коефициентът е 0.

$\begin{aligned} \greenD3x&+(\purpleC{-2})y+\goldD{0}z=\blueD {~~~4} \\ \greenD 1x&+\purpleC{~~~~~~0}y+\goldD{5}z = \blueD{-3} \\ \greenD{-4}x&+(\purpleC{-1})y+\goldD3z =\blueD{~~~0} \end{aligned}$

Това отговаря на следната разширена матрица.

Забележи как отново всяка колона отговаря на променлива (start color #1fab54, x, end color #1fab54, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, start color #e07d10, z, end color #e07d10) или на start color #11accd, start text, к, о, н, с, т, а, н, т, и, т, е, end text, end color #11accd. Също забележи, че числата във всеки ред отговарят на коефициентите в същото уравнение.

Като цяло, преди да преобразуваш една система в разширена матрица, се увери, че променливите са поставени в правилния ред във всяко уравнение, и че константите са отделени от едната страна.

Провери знанията си

3) Коя матрица представя системата?

\begin{aligned}3w-2x+y+5z&=10 \\w+2y-4z&=5\end{aligned}

(Избор А)
$\left[\begin{array}{rr}{3} & {-2} &1&~~~5&10 \\ {1} & {0} &2 &-4&5 \end{array}\right]$
(Избор Б)
$\left[\begin{array}{rr}{3} & {-2} &1&~~~5&10 \\ {0} & {1} &2 &-4&5 \end{array}\right]$

[Имам нужда от помощ!]

4) Представи следната система от уравнения с разширена матрица.

$\begin{aligned} -a+b-2c&=12\\ 3a+b&=-8 \end{aligned}$

[Имам нужда от помощ!]

Задачи с повишена трудност

5) Коя система е представена от разширената матрица ?

\left[\begin{array}{rr}{0} & {-3} &-5 &8 \\ {4} & {1} &~~~1&2 \\ {5} & {2} &-1&0 \end{array}\right]

(Избор А)
$\begin{aligned} -3x-5y&= 8 \\ 4x+y+z &= 2 \\ 5x+2y-z &= 0 \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} -3y-5z&= 8 \\ 4x+y+z &= 2 \\ 5x+2y-z &= 0 \end{aligned}$

[Имам нужда от помощ!]

6) Коя матрица представя системата?

\begin{aligned} 3x+2&=12y \\ -8y &= 2x+15 \end{aligned}

(Избор А)
$A=\left[\begin{array}{rr}{3} & {2} &12 \\ {-8} & {2} &15 \end{array}\right]$
(Избор Б)
$B=\left[\begin{array}{rr}{3} & {12} &2 \\ {2} & {-8} &15 \end{array}\right]$
(Избор В)
$C=\left[\begin{array}{rr}{3} & {-12} &-2 \\ {-2} & {-8} &15 \end{array}\right]$
(Избор Г)
$D=\left[\begin{array}{rr}{3} & {-12} &-2 \\ {-8} & {-2} &15 \end{array}\right]$

[Имам нужда от помощ!]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.