Решаване на линейни системи с матрици

Смятам, че не вреди да се упражняваш колкото се може повече, особено в решаване на системи от линейни уравнения. Затова нека решим тези. Ще ги реша, използвайки разширена матрица, която ще преобразувам в ешелонна форма. Каква е разширената матрица за тази система уравнения? Три неизвестни и три уравнения. Трябва просто да сметна коефициентите. Коефициентите на x са 1, 1 и 1. Коефициентите на y са 1, 2 и 3. Коефициентите на z са 1, 3 и 4. Нека покажа, че е разширена. И след това те са равни на 3, 0 и –2. Сега искам да преобразувам тази разширена матрица в ешелонна форма. Тук имаме водеща единица. Тя е водещ елемент. Искам всички останали елементи в този стълб да направя 0. Няма да променям първия ми ред. Ще бъде 1, 1, 1, и после разделителната линия, и тогава имаме 3. За да направим това нула, ще заменя втория ред с първия ред минус втория ред. 1 минус 1 е 0. 1 минус 2 е... всъщност по-добрият вариант, тъй като впоследствие ще искам това да бъде 1, нека сменим този ред с този ред... с втория ред минус първия ред, вместо първия ред минус втория ред. Мога да го направя по двата начина. Втория ред минус първия ред. 1 минус 1 е 0. 2 минус 1 е 1. 3 минус 1 е 2. И тогава 0 минус 3 е –3. Сега искам да зануля и това. Ще сменя този ред с този ред (третия) минус онзи ред (първия). Получавам 1 минус 1 е равно на 0. 3 минус 1 е 2. 4 минус 1 е 3. –2 минус 3 е –5. Дотук добре. Водещият ми елемент е тук. Имам друг водещ елемент тук. Той е вдясно от този, точно както искам да бъде в ешелонната форма. Сега трябва да се насоча към този елемент и този елемент. Трябва да ги зануля. Хайде да го направим. Ще запазя втория си ред същия. Вторият ми ред е 0, 1, 2 и после имам –3, разширената част от матрицата. И за да зануля този елемент, мога да сменя първия ред с първия ред минус втория ред. Получавам 1 минус 0 е равно на 1. 1 минус 1... има птица навън. Само момент да затворя прозореца. Докъде бях стигнал? Сменям първия ред с първия ред минус втория ред. Получавам 1 минус 0 равно на 1. 1 минус 1 е 0. 1 минус 2 е –1. И тогава 3 минус –3, това е равно на 3 плюс 3. Това е равно на 6. 1 минус 0 е 1. 1 минус 1 е 0, следва –1. И тогава 3 минус –3, това е 6. Винаги проверявам да не съм направил несъзнателна грешка. Сега нека се отървем от този елемент тук. Нека зануля това. Нека сменя третия ред с третия ред минус 2 пъти втория ред. Получаваме 0 минус 2 пъти 0. Това ще е просто 0. 2 минус, 2 по 1, което е 2 минус 2, което е 0. 3 минус, 2 по 2, което е 3 минус 4, което е –1. И накрая –5 минус (2 по –3). Нека запиша това. –5 минус (2 по –3). –5 минус –6. Това е –5 плюс 6, равно на 1. Исках да съм сигурен, че не съм направил несъзнателна грешка. Това е равно на 1. Почти съм готов, но все още не съм преобразувал в ешелонна форма. Това трябва да е плюс 1, за да я получим. Не може да бъде друго освен 1. Точно това е моделът на ешелонната форма. И тогава тези тук горе трябва да се занулят. Лесният вариант е... нека просто умножа този ред по –1. Това става 1, а това става –1. Тогава трябва просто да зануля тези два елемента тук горе. Хайде да го направим. Ще запазя третия ред същия. Третият ми е ред сега е 0, 0, 1, –1. И сега искам да зануля този приятел. Мога да приравня първия ми ред към първия ред плюс последния ред, защото ако двата се съберат, ще са равни на 0. Следователно какво получаваш? 1 плюс 0 е 1. 0 плюс 0 е 0. –1 плюс 1 е 0. 6 плюс –1 е 5. Сега искам да зануля този ред. За да зануля този ред, ще го сменя с втория ред минус 2 пъти третия ред. (Сал казва първия, но работи с третия ред) Следователно 0 минус (2 по 0) е просто 0. 1 минус (2 по 0) е просто 1. 2 минус (2 по 1) е 0. –3 минус (2 по –1). Нека запиша това. –3 минус (2 по –1). Не искам да правя грешки по невнимание. На какво е равно това? Това е равно на: –3 минус –2, или –3 плюс 2, което е равно на –1. Сега преобразувах разширената матрица в ешелонна форма. Моите водещи елементи са единствените ненулеви елементи в техните стълбове. Всеки водещ елемент във всеки следващ ред е вдясно от водещия елемент преди него. И всъщност нямам свободни променливи. Всеки стълб има водещ елемент. Нека се върнем от света на разширените матрици и някак да си върнем променливите тук. Какво получаваме? Имаме x плюс 0 по y плюс 0 по z е равно на 5. Това е този ред тук. Получаваме 0 по x плюс 1 по y плюс 0 по z е равно на –1. Това е този ред тук. И накрая имаме 0 по x плюс 0 по y плюс 1 по z е равно на 1. Това е онзи ред там. И просто ей така, ние всъщност решихме нашата система от три уравнения с три неизвестни. Това е решението. Записах го по този начин, за да може да видиш съответствието, но разбира се можех да ги напиша по-близо до знака равно. Надявам се, че ти е било поне малко полезно.