Текстова задача с матрици: векторна комбинация

В последното видео видяхме как можем да използваме матрица и намирането на нейната обратна за решаване на системи от уравнения. Направихме го с матрица 2 х 2. В бъдеще ще направим с 3 х 3. Няма да правим с 4 х 4, защото те отнемат твърде много време. Но ще видиш, че това е приложимо за всички матрици n x n. Това сигурно е приложението на матриците, което се учи в часовете по Алгебра 2 или Алгебра 1. Често сигурно се чудиш: "Защо изобщо се занимаваме с тези матрици? Сега ще ти покажа друго приложение на матриците, което е по-вероятно да видиш в линейната алгебра, когато я учиш в университета. Готиното нещо тук е... и наистина мисля, че ще ударя десятката с това... че представянето с матрици е просто един начин да представим няколко вида задачи. А наистина готиното е, че ако могат да се представят различни задачи по един и същ начин, това би ти подсказало, че те са една и съща задача. Това се нарича изоморфизъм в математиката. Ако можеш да преобразуваш една задача в друга задача, то всичката работа, която си свършил с едната, ще важи и за другата. Нека все пак разгледаме новия начин, по който могат да се използват матриците. Ще начертая няколко вектора. Да кажем, че имам вектор... Да го наречем вектор а. Ще го запиша като вектор-стълб (вектор-колона). Всичко това са просто различни подходи. Това са човешки изобретения. Можех да го запиша диагонално. Можеш да го запиша по всякакъв начин. Но ако кажа, че вектор а е 3, 6 и разглеждам това като х-компонентата на вектора, а това е равно на у-компонентата на вектора. После имам вектор b. Вектор b е равен на 2, 6. Искам да разбера дали има някаква комбинация от векторите а и b, например 5 пъти вектор а плюс 3 пъти вектор b, или 10 пъти вектор а минус 6 пъти вектор b, от която да получа вектор с. Вектор с е векторът 7, 6. Ще се опитам да представя визуално тази задача. Нека начертая координатните оси. Да видим този. 3, –6. И двата ще бъдат в първи квадрант. Искам само да разбера колко дълги оси трябва да начертая. Да видим. Нека използвам друг цвят. Това е моята ос у. Не чертая втория и третия квадрант, защото не мисля, че векторите ни ще се появят там. Това ни е оста х. Нека начертая всеки вектор. Първо ще начертая вектор а. Той е 3, –6. 1, 2, 3 и после –6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Готово. Ако исках да го начертая като вектор, обикновено започваме от началото. Не е задължително да започва от началната точка, просто аз избирам да е така. Можеш да движиш векторите. Трябва само да има същата посока и същата големина. Това е вектор а, със зеленото. Нека направя вектор b в пурпурен цвят. Той е 2, 6. 1, 2, 3, 4, 5, 6. Следователно 2, 6 е тук. Това е вектор b. Ще изглежда така. Това е вектор b. Нека запиша вектор а тук долу. Това е вектор а. Искам да намеря някаква комбинация от векторите а и b и да ги събера, за да получа вектор с. Как изглежда вектор с? Той е 7, 6. Нека го направя в лилаво. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 6. Следователно 7, 6 е тук. Това е вектор с. Вектор с изглежда така. Ще го начертая така. Това е вектор с. Каква беше първоначалната задача, която казах? Казах, че искам да съберем някое кратно на вектор а и някое кратно на вектор b, за да получим вектор с, и искам да видим кои са тези кратни. Да кажем, че множителят, с който умножавам вектор а, е х, а множителят на вектор b е у. Искам да каже, че... нека го направя в друг неутрален цвят... че вектор ах... това показва с колко вектор а допринася... плюс вектор by... това показва с колко вектор b допринася... е равно на вектор с. Може би не става. Може би няма комбинация от вектор а и b, при която да ги събереш и да получиш вектор с. Но нека видим дали можем да решим това. Как да го решим? Нека разширим векторите а и b. Какво е вектор а? 3, –6. Можем да запишем вектор а като 3, –6 по х. Това просто ни показва с каква част допринася вектор а. Плюс вектор b, който е 2, 6. у показва с каква част допринася вектор b. Това е равно на 7, 6. Вектор с. Сега това тук. Тази задача може да се запише така, както определихме умножението на матрици и т.н., и т.н. Ето така. 3, –6, 2, 6 по х, у е равно на 7, 6. Как става това? Помисли как работеше умножението на матрици. Според начина, по който учихме умножението на матрици, можем да кажем 3 по х, плюс 2 по у е равно на 7. Така научихме умножението на матрици. Същото е тук. 3 по х, плюс 2 по у ще бъде равно на 7. Тези х и у тук са просто скаларни величини. Следователно 3 по х, плюс 2 по у е равно на 7. После умножението тук: –6 по х, плюс 6 по у е равно на 6. Това е просто традиционното умножение на матрици, което научихме преди няколко видеа. Това тук е същото нещо. –6х плюс 6у е равно на 6. Тези х и у са просто числа. Те са просто скаларни числа. Не са вектори или нещо друго. Просто ги умножаваме по тези двете числа. Надявам се виждаш, че тази задача е същата като тази задача. И може би даже да те споходил "Аха"-момент, ако познаваш предишното видео. Защото тази матрица също представяше задачата, в която търсихме пресечната точка на две прави. Където двете прави... ще го направя от тази страна. Пресечната точка на двете прави 3х + 2у = 7 и –6х + 6у = 6. Начертах двете прави. Питахме се какъв е смисълът на пресечната точка и т.н. Беше представена с тази задача. Но тук имаме... няма да кажа напълно различна задача, защото учихме, че те са всъщност много подобни... но тук решавам задача, в която търся каква комбинация от събирането на матриците а и b ще даде матрицата с. Но я преобразувахма до същото матрично представяне и можем да решим това по напълно същия начин, по който решихме тази задача. Ако наречем това матрицата а, нека намерим обратната а. Обратната а е равна на? Равна е на 1 върху детерминантата на а. Детерминантата на а е 3 по 6... 18 минус –12. Това е 18 плюс 12, което е 1/30. Това го правихме в миналото видео. Разменихме тези две числа. Получаваме 6 и 3. После правим тези двете отрицателни. Получаваме 6 и –2. Това е обратната а. За да намерим х и у, можем да умножим двете страни на това уравнение по обратната матрица а. Ако умножиш обратната а по а, тези ще се съкратят. Получаваме х, у е равно на обратната а по това. Това е равно на 1/30 по 6, –2, 6, 3, по 7, 6. Запомни, че при матриците последователността на умножение е от значение. От тази страна на уравнението умножихме по обратната а. Следователно трябва да умножим по обратната а и от лявата страна на тази страна на уравнението. Това направихме тук. Ако го направим по другия начин, няма да стане. На какво е равно? Това е равно на 1/30 по... направихме го това в предишната задача... 6 по 7 е 42, минус 12. 30. 6 по 7 е 42. Плюс 18. 60. Това е равно на 1, 2. Какво ни казва това? Казва ни, че ако имаме 1 по вектор а, плюс 2 по вектор b... 1 по... това е 1... и 2 по вектор b. 1 по вектор а, плюс 2 по вектор b е равно на с. Да потвърдим това визуално. 1 по вектор а. Това тук е вектор а. Ако добавим 2 пъти вектор b към него, трябва да получим вектор с. Да видим дали можем да го направим. Ако просто преместим вектор b насам... Да видим. Вектор b е надясно 2 и нагоре 6. Надясно 2 и нагоре 6 ще ни доведе тук. Значи един вектор b... просто правя визуалния метод за събиране на вектори глава към опашка... ще ни доведе тук. 1, 2, 3. Добре. Не, нека да видя. 1, 2, 3. После вектор b минава още 2. Още 2. Ще стигне до 6. Ето така. Това е един вектор b. После ако добавим още един... а ние искаме 2 пъти вектор b, нали? По същество ни трябват два вектора b. Имаме един и тогава добавяме още един. Мисля, че визуално виждаш, че това всъщност... Не исках да го направя така. Исках да използвам инструмента за линия, за да изглежда спретнато. Добавяме още един вектор b. И готово. Това е вектор b. Това е 2 пъти вектор b. Същата посока е като вектор b, но е два пъти в дължина. Показахме го визуално. Решихме го алгебрично. Но истинската цел и голямото истинско откритие на цялото това видео, е да покаже, че представянето чрез матрици може да представя много различни задачи. Това беше задача за намиране на комбинация от вектори. Предишната беше за намиране на пресечна точка на две прави. Това, което ни казва, е, че тези две задачи са свързани по някакъв дълбок начин. Че ако свалим маската на реалността, то зад завесите те са едно и също нещо. Честно казано, затова математиката е толкова интересна. Защото когато осъзнаеш, че две задачи всъщност са едно и също нещо, разкриваш истинската същност на нещата. Защото нашите мозъци са настроени да възприемат света по определен начин. Но това ни казва, че има фундаментална истина, независеща от нашето възприятие, която свързва всички тези различни понятия. Както и да е, не искам да ставам прекалено мистичен. Но ако все пак виждаш мистицизма в математиката – по-добре. Надявам се, че това ти е било интересно. Знам, че надхвърлям времето, но мисля, че това е... Много хора, които учат линейна алгебра, научават как да правят всички тези неща и казват: "Но какъв е смисълът на това?" Това е интересно да се замислим. Имахме този вектор а и този вектор b. Можахме да кажем, че има комбинация на векторите а и b, при която сборът им ни даде вектор с. Интересен е въпросът: Колко са всичките вектори, до които можем да стигнем, като събираме комбинации от векторите а и b? Като ги събираме или изваждаме. А можем и да ги умножим по отрицателни числа. Колко са всичките вектори, които можем да получим, използвайки линейни комбинации от векторите а и b? Това всъщност се нарича максималното векторно разстояние на векторите а и b. Ще говорим още за тези неща в линейната алгебра. Тук работим с двумерното Евклидово пространство. Можехме да имаме тримерни вектори. Можехме да имаме n-мерни вектори. И става много, много, много абстрактно. Но това също мисля, че е много добро топване на пръстчето в линейната алгебра. Надявам се, че не чувстваш объркване или претоварване. Ще се видим в следващото видео.