Представяне на системи от линейни уравнения чрез матрични уравнения

Имам система от две уравнения с 2 неизвестни. Виждали сме как се решава това по няколко начина. Заместваме, елиминираме и можем да го направим тук. Всъщност можем просто да съберем двете: лявата страна на уравнението и дясната страна на уравнението, за да елиминираме s. Всъщност, хайде просто да го направим, за да покажем, че е сравнително просто, поне за този пример. Събираш левите страни. Тези се унищожават. Остава ни –t. –t е равно на 7 плюс –6, което е 1. Получаваме, че t e равно на –1. t e равно е на –1. Ако t е равно –1. това горното уравнение, а може да използваш и долното, ще се опрости до 2 по s. –5 по –1 е 5. 5 е равно на 7. Това е равно на... Нека използвам същите цветове, които използвах тук. Равно е на 7. Можем да сметнем това наум. 2s трябва да е равно на 2, а това s е равно на 1. 2 по 1 плюс 5 е 7. Следователно s е равно на 1. Това беше доста простичко. В това видео ще представим същата система, но ще я представим като матрично уравнение и ще я решим, използвайки обратни матрици. Обаче да те предупредя. Ще стане малко сложно. Ще ни отнеме повече време и може да си кажеш: "Ами защо изобщо го правим?" Ползата от това видео е, че е много полезно при смятането, когато може да ти се наложи да решаваш една и съща система отново, отново и отново. Може би левите страни ще са еднакви, а десните ще се променят. Това може да е нещо, което може да видиш докато пишеш компютърна игра или докато работиш върху някакъв вид компютърен проблем или задача. Това е обща тема. Голямата част от ползата от матриците е, че те са начини за представяне на задачи, математически задачи, начини за представяне на данни и можем да използваме операциите с матрици, за да ги манипулираме по подходящи начини, ако пишем компютърни програми или неща подобни на компютърните програми. Остани с мен и ще се насладиш впоследствие на това, което ще направим, а един ден ще видиш, че всъщност е било доста полезно. Първото нещо, което трябва да видим и оценим, е че това може да бъде представено от матрично уравнение. Сега ще взема коефициентите тук. Ще взема коефициентите тук. 2, –5. 2, –5. –2. –2 и 4. Просто взех коефициентите и ще кажа, че това по този вектор-стълб st, или вектор-колона st, s и t, ще е равно на вектор-колона 7, –6. 7, –6. Твърдя, че двете страни на равенството са еднакви. Тези представят същите ограничения върху променливите s и t. Ще кажеш: "Чакай, не го разбирам напълно това". Ако казваш, че не го разбираш напълно, умножи го. Умножи го и помисли какви трябва да са стойностите, когато умножаваш. Ще видиш този елемент, в първи ред и първа колона... Това ще е този ред... Ще работим с този ред и тази колона. Ако помислиш малко, това ни казва, че 2 по s, 2 по s плюс –5 по t, трябва да е равно на първия елемент тук горе, т.е. първи ред, първи стълб. Той е равен на 7. Просто умножих. Работих с първи ред и първи стълб, и казах: когато сметна скаларното произведение на тези... Ако не знаеш какво е скаларно произведение, не се притеснявай. Ще го обясним на други места. В основата си е това, което тъкмо направих. Първия елемент тук по първия елемент, втория елемент тук по втория елемент и ги събираме. Това ще бъде равно на 7. Но когато направиш това, ти съставяш това първо уравнение. Когато го направиш с втория ред и този стълб, съставяш второто уравнение. Получаваш –2 по s, –2 по s, плюс 4 по t. 4 по t е равно на –6. Надявам се разбираш, че това съдържа същата информация като това. Има и други начини, по които можех да го направя. Например може да имаме... Вместо да пишем по този начин... Тази система очевидно е същото нещо. Очевидно е същото нещо... Всъщност нека копирам и поставя. Е същото нещо като... Копирам и поставям. Е същото нещо като тази система, в която просто разменям. Отново копирам и поставям. Очевидно съм написал втората като първа и първата като втора. Ясно е, че това е същата система. Ако исках да съставя уравнения с тази система, щях просто да разменя всички редове. Първият ред тук ще бъде –2, 4. Ще сменя редовете за коефициентите, но ще запазя s и t в същата последователност. Можеш да го направиш. Опитай да представиш това тук като матрично уравнение. Тази матрица тук ще е –2, 4, 2, –5, а това ще е –6, 7. Сега като сме готови, как всъщност да решим нещо такова? Защо изобщо го правим това? Нека помислим малко върху това, буквално за матричните уравнения. Да кажем, че А, матрицата А, е това нещо тук. Това нещо тук е матрицата А. Да кажем, че това тук е вектор-стълб х. Ще го запиша като вектор-стълб х. Имаме вектор-стълб х, а после това тук. Можем да кажем, че е равно... Нека го наречем вектор-стълб b. Това е равно на вектор-стълб b. Казваме, че А, матрицата А по този вектор-стълб х e равно на вектор-стълб b. Нека го запиша отново тук, за да го изтъкна. Матрицата А по вектор-стълб х ще бъде равно на вектор-стълб b. За това се говори, когато стане въпрос за матрично уравнение. Всъщност преди даже да помислим за програмиране, компютърна графика и подобни неща, ще видим много такива неща във физиката, където говорят с общи термини, а може даже и да не уточняват размерите на матрицата или размерите на този вектор, но говорят за някакво общо свойство във физиката примерно. Ще видиш много такива матрични векторни уравнения като навлизаш в по-висши и по-висши науки. Но отново нека просто се върнем към основния ни проблем: как всъщност да решим това? Единият начин е: вече сме виждали, че ако една матрица е обратима, това означава, че съществува обратна матрица А, такава, че обратната А по А е равно на единична матрица. Какво ще стане, ако умножим левите страни на двете страни на това уравнение по обратната А? Помни, че последователността е от значение, когато умножаваме матрици. Умножаваме левите страни на двете страни от уравнението по обратната А, което ни дава обратната А по А по х е равно на обратната А... Помни, че умножавам левите страни на двете уравнения. Обратната А по вектор-стълб b. Защо това е интересно? Тъкмо казахме, че обратната А по А, приемайки, че А е обратима, че това тук ще е равно на единична матрица. Това ще бъде единична матрица по вектор-стълб х, което ще е равно на тези неща. Това ще е равно на това. Нека копирам и поставя това. Това ще е равно на това. Защо това е интересно? Единична матрица по някоя матрица, например този вектор-стълб е матрица 2 х 1, ще получим пак този вектор-стълб. Ще опростя, че нашият вектор-стълб е равно на... Нашият вектор-стълб е равен на обратната матрица по нашия вектор-стълб или нашият вектор-стълб х е равен на обратната матрица по вектор-стълб b. Отново подчертавам защо това е полезно. Да, трябва да преминеш през смятането на обратната А, но щом го направиш, можеш да разменяш различните b. Това е 7, –6, но можеш да имаш друго b тук, и ако пускаш компютърна програма, ще искаш да правиш това отново и отново, просто трябва да правиш множество умножения на матрици. Ще те оставя с тази мисъл. Осъзнавам, че наближавам 10 минути, които никога не обичам да прескачам в тези видеа. В следващото видео ще намерим каква е обратната А и ще сметнем какъв е векторът х, т.е. решението.