Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 10

Урок 11: Разлагане на едночлени на множители

Разлагане на едночлени на множители

Научи се как да разлагаш напълно едночлени или да намираш неизвестния член в разлагането на едночлени.

С какво трябва да си наясно, преди да започнеш този урок

Едночлен или "едночлен" е израз, който е произведение на някаква константа и

x

на степен цяло неотрицателно число, като

3 x^{2}

. Многочлен или "полином" е сума от едночлени, като

3 x^{2} + 6 x - 1

Ако

A = B \cdot C

, тогава

B

C

са делители на

A

, а

A

се дели на

B

C

. За да преговориш този материал, виж статията ни за Делители и делимост.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да разлагаш едночлени. Ще използваш това, което вече знаеш за разлагане на цели числа, за да ти помогне в изследването.

Въведение: Какво представлява разлагането на едночлени?

Да разложим едночлен означава да го изразим като произведение на два или повече едночлена.

Например по-долу са дадени няколко възможни разлагания на едночлена

8 x^{5}

$8 x^{5} = (2 x^{2}) (4 x^{3})$ ‍
$8 x^{5} = (8 x) (x^{4})$ ‍
$8 x^{5} = (2 x) (2 x) (2 x) (x^{2})$ ‍

Обърни внимание, че когато умножиш всеки от изразите отдясно, получаваш

8 x^{5}

[Може ли да видя умножение, моля!]

Въпрос за размисъл

Андрей, Амит и Ендрю бяха помолени да разложат израза

20 x^{6}

като произведение на два едночлена. Отговорите им са показани по-долу.

Андрей			Амит			Ендрю
$20 x^{6} = (2 x) (10 x^{5})$ ‍			$20 x^{6} = (4 x^{3}) (5 x^{3})$ ‍			$20 x^{6} = (20 x^{2}) (x^{3})$ ‍

1) Кой от учениците разложи $20 x^{6}$ ‍ правилно?

[Имам нужда от помощ!]

Пълно разлагане на едночлени

Преглед: разлагане на цели числа

За да разложим едно цяло число напълно, го записваме като произведение от прости числа.

Например знаем, че

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

И сега да преминем към едночлените...

За да разложим един едночлен напълно, записваме коефициента като произведение на прости числа и развиваме променливата част.

Например за да разложим напълно

10 x^{3}

, можем да запишем разлагането на прости множители на

10

като

2 \cdot

5 и да запишем

x^{3}

като

x \cdot x \cdot x

. Следователно това е пълното разлагане на

10 x^{3}

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

Провери знанията си

2) Кое от следните е пълно разлагане на $6 x^{2}$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

3) Кое от следните е пълно разлагане на $14 x^{4}$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

Намиране на неизвестни делители на едночлени

Преглед: разлагане на цели числа

Да предположим, че знаем, че

56 = 8 b

за някое цяло число

b

. Как можем да намерим другия делител?

Можем да решим уравнението

56 = 8 b

за

b

чрез деление на двете страни на уравнението на

8

. Липсващият коефициент е

7

И сега да преминем към едночлените...

Можем да приложим тези идеи при едночлените. Например да предположим, че

8 x^{5} = (4 x^{3}) (C)

за даден едночлен

C

. Можем да намерим

C

чрез деление на

8 x^{5}

на

4 x^{3}

$\begin{aligned} 8 x^{5} & = (4 x^{3}) (C) \frac{8 x^{5}}{4 x^{3}} & = \frac{(4 x^{3}) (C)}{4 x^{3}} & Раздели двете страни на 4 x^{3} 2 x^{2} & = C & Опрости чрез свойствата на експонентите \end{aligned}$ ‍

[Как извърши деление тук?]

Можем да проверим нашата работа, като покажем, че произведението на

4 x^{3}

2 x^{2}

наистина е

8 x^{5}

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (2 x^{2}) & = 4 \cdot 2 \cdot x^{3} \cdot x^{2} & = 8 x^{5} \end{aligned}$ ‍

Провери знанията си

4) Намери неизвестният делител $B$ ‍, който прави следното равенство вярно.

28 x^{5} = (B) (7 x)

[Имам нужда от помощ!]

5) Намери неизвестния делител $C$ ‍, който прави следното равенство вярно.

40 x^{9} = (C) (4 x^{3})

C =

[Имам нужда от помощ!]

Бележка за множество разлагания

Да разгледаме числото

12

. Можем да запишем четири различни разлагания на това число.

$12 = 2 \cdot 6$ ‍
$12 = 3 \cdot 4$ ‍
$12 = 12 \cdot 1$ ‍
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍

Но има само едно разлагане на прости множители на числото

12

, и то е

2 \cdot 2 \cdot 3

Същата идея важи и за едночлените. Можем да разложим

18 x^{3}

по много начини. Ето няколко различни разлагания.

$18 x^{3} = 2 \cdot 9 \cdot x^{3}$ ‍
$18 x^{3} = 3 \cdot 6 \cdot x \cdot x^{2}$ ‍
$18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x^{3}$ ‍

Но има само едно пълно разлагане!

18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x

Задачи с повишена трудност

6*) Запиши пълното разлагане на $22 x y^{2}$ ‍.

22 x y^{2} =

[Имам нужда от помощ!]

7*) Правоъгълникът по-долу е с площ

24 x^{3}

квадратни метра и дължина

4 x^{2}

метра.

Каква е широчината на правоъгълника?

Ширина =

метра

[Имам нужда от помощ!]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.