Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 10

Урок 11: Разлагане на едночлени на множители

Най-голям общ делител на едночлени

Как да намерим НОД (най-големия общ делител) на два или повече едночлена.

С какво трябва да познаваш преди този урок

Едночлен или "моном" е израз, който е произведение на константи и

x

, повдигнато на степен цяло неотрицателно число, например като

3 x^{2}

. Многочлен или "полином" е сума от едночлени.

Можеш да направиш пълното разлагане на даден едночлен като разложиш на прости множители коефициента и частта с променливата. Виж нашата статия Разлагане на едночлени, ако това е нещо ново за теб.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш за най-големия общ делител (НОД) и как да го намираш за едночлените.

Преглед: Най-големи общи делители при цели числа

Най-голям общ делител на две числа е най-голямото цяло число, което е делител на двете числа. Например НОД на

12

18

6

Можем да намерим НОД за всеки две числа чрез разглеждане на резултата от първичните им разлагания:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ ‍

Обърни внимание, че

12

18

имат общ делител

2

и общ делител

3

. Следователно най-големият общ делител на

12

18

2 \cdot 3 = 6

Най-големи общи делители при едночлени

Процесът е подобен, когато от теб се иска да намериш най-големия общ делител на два или повече едночлена.

Просто запиши пълното разлагане на всеки едночлен и намери общите делители. Произведението на всички общи делители ще бъде НОД.

Например нека да намерим най-големия общ делител на

10 x^{3}

4 x

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$ ‍

Обърни внимание, че

10 x^{3}

4 x

имат един общ делител

2

и един общ делител

x

. Следователно техният най-голям общ делител е

2 \cdot x

или

2 x

Провери знанията си

1) Кой е най-големият общ делител на $9 x^{2}$ ‍ и $6 x$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

2) Кой е най-големият общ делител на $12 x^{5}$ ‍ и $8 x^{3}$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

3) Кой е най-големият общ делител на $5 x^{7}$ ‍, $30 x^{4}$ ‍ и $10 x^{3}$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

Бележка за променливата част на НОД

По принцип променливата част на НОД за всеки два или повече едночлена е равна на променливата част на едночлена с най-ниската степен на

x

Например разгледай едночлените

6 x^{5}

4 x^{2}

Тъй като най-ниската степен на $x$ ‍ е $x^{2}$ ‍, това ще бъде променливата част на НОД.
След това можеш да намериш НОД на $6$ ‍ и $4$ ‍, което е $2$ ‍ и да умножиш това по $x^{2}$ ‍, за да получиш $2 x^{2}$ ‍, НОД на едночлените!

\begin{aligned} НОД на 6 и 4 е 2 & Делителят с най-ниска степен на x^{5} и x^{2} е x^{2} \\ ↘ & ↙ \\ GCF (6 x^{5}; 4 x^{2}) = 2 & x^{2} \end{aligned}

[Искам да проверя това с помощта на метода на факторизация или разлагане на множители.]

Това е особено полезно, когато намираме НОД на едночлени с много високи степени на

x

. Например би било много досадно да разложим напълно едночлени като

32 x^{100}

16 x^{88}

Задачи с повишена трудност

4*)Кой е най-големият общ делител на $20 x^{76}$ ‍ и $8 x^{92}$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

5*) Кой е най-големият общ делител на $40 x^{5} y^{2}$ ‍ и $32 x^{2} y^{3}$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

Какво следва?

За да видиш как можеш да използваш уменията за разлагане на многочлени, виж следващата ни статия за изнасянето на най-големия общ делител!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.