Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 10

Урок 14: Въведение в разлагане на квадратни изрази

Разлагане на квадратни изрази: водещ коефициент = 1

Научи как да разлагаш квадратни изрази като произведение на два линейни бинома. Например x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Какво трябва да знаеш за този урок

Разлагането на многочлени е представянето им като произведение от два или повече многочлена. Това е обратното на процеса на умножение на многочлени. Ако искаш да научиш повече за това, виж предишния урок за намиране на общи делители.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да разлагаш многочлен от вида

x^{2} + b x + c

като произведение на два двучлена.

Преговор: Умножение на двучлени

Нека разгледаме израза

(x + 2) (x + 4)

Можем да намерим произведението чрез прилагане на разпределителното свойство няколко пъти.

\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (4) \\ = x^{2} + 2 x + 4 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}

[Ето едно друго обяснение за това как да се умножат два двучлена.]

Следователно имаме, че

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

От това виждаме, че

x + 2

x + 4

са множители на

x^{2} + 6 x + 8

, но как ще ги намерим, ако не започнем с тях?

Разлагане на тричлени

Можем да обърнем процеса на умножение на двучлени, показан по-горе, за да разложим тричлена (който е многочлен с

3

члена).

С други думи, ако започнем с многочлена

x^{2} + 6 x + 8

, можем да използваме разлагане, за да го запишем като произведение на два двучлена

(x + 2) (x + 4)

Нека да разгледаме няколко примера, за да видиш как се прави това.

Пример 1: Разлагане на $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

За да разложим

x^{2} + 5 x + 6

, първо трябва да намерим две числа, произведението от които е

6

(постоянно число) и чийто сбор е

5

(коефициентът

x

Тези две числа са

2

3

, тъй като

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

[Как намираме тези стойности?]

След това можем да добавим всяко едно от тези числа към

x

, за да оформим двата делителя-двучлени:

(x + 2)

(x + 3)

Да обобщим: ние разложихме тричлена както следва:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

Можем да проверим разлагането чрез умножаване на двата двучлена:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

Произведението на

x + 2

x + 3

наистина е

x^{2} + 5 x + 6

. Нашето разлагане е правилно!

Провери знанията си

1) Разложи $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

2) Разложи $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

Нека да разгледаме още няколко примера и да видим какво можем да научим от тях.

Пример 2: Разлагане на $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

За да разложим

x^{2} - 5 x 6

, нека първо намерим две числа, произведението от които е

6

, и чийто сбор е

- 5

Тези две числа са

- 2

- 3

, тъй като

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

[Как намираме тези стойности?]

След това можем да добавим всяко едно от тези числа към

x

, за да оформим двата двучленни делителя:

(x + (- 2))

(x + (- 3))

Разлагането е дадено по-долу:

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[Може ли да видя проверката, моля?]

Начин на разлагане: Обърни внимание, че и двете числа, необходими за разлагането на

x^{2} - 5 x + 6

са отрицателни

(- 2

- 3)

. Това е така, защото тяхното произведение трябва да бъде положително

(6)

, а техният сбор трябва да бъде отрицателен

(- 5)

По принцип, когато разлагаме

x^{2} + b x + c

, ако

c

е положително и

b

е отрицателно, то и двата делителя ще бъдат отрицателни!

Пример 3: Разлагане на $x^{2} - x - 6$ ‍

Можем да запишем

x^{2} - x - 6

като

x^{2} - 1 x - 6

За да разложим

x^{2} - 1 x - 6

, нека първо намерим две числа, които като се умножат, дават

- 6

, и като се сумират, дават

- 1

Тези две числа са

2

- 3

, тъй като

(2) \cdot (- 3) = - 6

2 + (- 3) = - 1

[Как намираме тези стойности?]

След това можем да добавим всяко едно от тези числа към

x

, за да оформим двата двучленни делителя:

(x + 2)

(x + (- 3))

Разлагането е дадено по-долу:

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

[Може ли да видя проверката, моля?]

Начини на разлагане: Обърни внимание, че за да разложим

x^{2} - x - 6

, имаме нужда от едно положително число

(2)

и едно отрицателно число

(- 3)

. Това е така, защото тяхното произведение трябва да бъде отрицателно

(- 6)

По принцип, когато разлагаме

x^{2} + b x + c

, ако

c

е отрицателно, тогава единият делител ще бъде положителен, а другият - отрицателен.

Обобщение

По принцип, за да разложим един тричлен от вида

x^{2} + b x + c

, трябва да намерим делителите на

c

, чийто сбор е

b

Да предположим, че тези две числа са

m

n

, така че

c = m n

b = m + n

, тогава

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

Провери знанията си

3) Разложи $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

4) Разложи $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

5) Разложи $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

Защо това върши работа?

За да разберем защо този метод на разлагане действа, нека да се върнем към първоначалния пример, в който разложихме

x^{2} + 5 x + 6

като

(x + 2) (x + 3)

Ако се върнем и умножим двата двучленни множителя, можем да видим какво влияние оказват

2

3

върху оформянето на произведението

x^{2} + 5 x + 6

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

Виждаме, че коефициентът на члена

x

е сумата от

2

3

и константният член е произведение на

2

3

Метод на разлагане чрез произведение на сборове

Нека да повторим това, което току-що направихме с

(x + 2) (x + 3)

за

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

За да обобщим този процес, получаваме следното уравнение:

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

Това се нарича метод на разлагане чрез произведение на сборове.

Това показва защо щом изразим тричлена

x^{2} + b x + c

като

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

(чрез намиране на двете числа

m

n

, така че

b = m + n

c = m \cdot n

), можем да разложим този тричлен като

(x + m) (x + n)

Въпрос за размисъл

6) Може ли този метод да се използва за разлагането на $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

Кога можем да използваме този метод, за да разлагаме?

По принцип методът на разлагане чрез произведение на сборове е приложим само тогава, когато можем да представим тричлена като

(x + m) (x + n)

за някои цели числа

m

n

Това означава, че водещият член на тричлена трябва да бъде

x^{2}

(а не например

2 x^{2}

), за да може изобщо да се помисли за този метод. Това е така, защото произведението на

(x + m)

(x + n)

винаги ще бъде полином с водещ член

x^{2}

Но не всички тричлени с

x^{2}

като водещ член могат да бъдат разложени. Например

x^{2} + 2 x + 2

не може да бъде разложен, защото няма две цели числа, чиято сума е

2

и чието произведение е

2

В бъдещи уроци ще научим повече начини за разлагане на повече видове многочлени.

Задачи с повишена трудност

7*) Разложи $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

8*) Разложи $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 10

Какво трябва да знаеш за този урок

Какво ще научиш в този урок

Преговор: Умножение на двучлени

Разлагане на тричлени

Пример 1: Разлагане на x2+5x+6‍

Провери знанията си

Пример 2: Разлагане на x2−5x+6‍

Пример 3: Разлагане на x2−x−6‍

Обобщение

Провери знанията си

Защо това върши работа?

Метод на разлагане чрез произведение на сборове

Въпрос за размисъл

Кога можем да използваме този метод, за да разлагаме?

Задачи с повишена трудност

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: Разлагане на $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Пример 2: Разлагане на $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Пример 3: Разлагане на $x^{2} - x - 6$ ‍