Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 10

Урок 35: Графики на многочлени

Графики на многочлени

Анализиране на многочлени, за да скицираме графиките им.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Граничното поведение на една функция f описва поведението на графиката ѝ в "краищата" на оста x. Алгебрично граничното поведение се определя от следните два въпроса:

Когато x, right arrow, plus, infinity, към какво клони f, left parenthesis, x, right parenthesis?
Когато x, right arrow, minus, infinity, към какво клони f, left parenthesis, x, right parenthesis?

Ако това е ново за теб, препоръчваме да видиш статията ни за гранично поведение на полиномите.

Нулите на една функция f съответстват на пресечните точки на нейната графика с оста x. Ако функцията f има нула от нечетна кратност, графиката ѝ ще пресича оста x в тази x стойност. Ако f има нула от четна кратност, графиката ѝ ще докосва оста x в тази точка.

Ако това е ново за теб, препоръчваме да видиш статията ни за нули на полиноми.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще използваме горните характеристики, за да анализираме и скицираме графиките на полиномите. После ще използваме скиците, за да намираме интервалите, в които полиномите са положителни или отрицателни.

Анализиране на функциите на полиномите

Сега ще анализираме няколко характеристики на графиката на полинома f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

Намиране на пресечната точка с оста y

За да намерим пресечната точка с оста y на графиката на f, трябва да намерим f, left parenthesis, 0, right parenthesis.

$\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3(\tealD 0)-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= (-2)(4)\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}$

Пресечната точка с оста y на графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis е left parenthesis, 0, ;, minus, 8, right parenthesis.

Намиране на пресечните точки с оста x

За да намерим пресечните точки с оста x, трябва да решим уравнението f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.

$\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}$
$\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{или}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{Правило за умножение с нула}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{или}\qquad x&=-2\end{aligned}$

Пресечните точки с оста x на графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis са left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, ;, 0, right parenthesis и left parenthesis, minus, 2, ;, 0, right parenthesis.

Анализът ни показва също, че start fraction, 2, divided by, 3, end fraction е нула с кратност 1 и minus, 2 е нула с кратност 2. Това означава, че графиката пресича оста x в точка left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, ;, 0, right parenthesis и докосва оста x в left parenthesis, minus, 2, ;, 0, right parenthesis.

Определяне на граничното поведение

За да намерим граничното поведение на една функция, можем да разгледаме водещия член, когато функцията е представена в нормален вид.

Нека запишем уравнението в нормален вид.

$\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}$

[Необходимо ли е да направим това?]

Водещият член на полинома е start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10, така че граничното поведение на функцията f ще е същото като граничното поведение на члена 3, x, cubed.

Тъй като степенният показател е нечетен и водещият коефициент е положителен, граничното поведение ще е: когато x, right arrow, plus, infinity тогава f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity и когато x, right arrow, minus, infinity тогава f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Скициране на графика

Можем да използваме това, което установихме по-горе, за да скицираме графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Нека започнем с граничното поведение:

Когато x, right arrow, plus, infinity, тогава f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
Когато x, right arrow, minus, infinity, тогава f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Това означава, че в "краищата" графиката ще изглежда като графиката на y, equals, x, cubed.

Сега можем да добавим това, което знаем за пресечните точки с оста x:

Графиката докосва оста x в точка left parenthesis, minus, 2, ;, 0, right parenthesis, тъй като minus, 2 е нула с четна кратност.
Графиката пресича оста х в точка left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, ;, 0, right parenthesis, тъй като start fraction, 2, divided by, 3, end fraction е нула с нечетна кратност.

Накрая ще завършим този процес, като нанесем пресечната точка с оста y в точката left parenthesis, 0, ;, minus, 8, right parenthesis и запълним празнините с равна, непрекъсната крива.

И въпреки че не знаем точно къде са повратните точки, все пак имаме добра идея за цялостната форма на графиката на функцията!

Интервали с положителни и отрицателни стойности на функцията

Сега, когато имаме скица на графиката на f, можем лесно да определим интервалите, в които стойностите на функцията f са положителни, и тези, в които са отрицателни.

Виждаме, че стойностите на функцията f са положителни, когато x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, и отрицателни, когато x, is less than, minus, 2 или minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

Провери знанията си

1) Опитай да скицираш самостоятелно графиката на функцията g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis.

a) Коя е пресечната точка с оста y на графиката на функцията g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
left parenthesis, 0;
Отговорът ти трябва да бъде
цяло число, като 6
несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
смесено число като 1, space, 3, slash, 4
точна десетична дроб като 0, point, 75
кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

[Имам нужда от помощ!]

б) Какво е граничното поведение на графиката на g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Избери един отговор:
(Избор А)
Когато x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, и когато x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Избор Б)
Когато x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, и когато x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
(Избор В)
Когато x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, и когато x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
(Избор Г)
Когато x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, и когато x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

[Имам нужда от помощ!]

в) Кои са пресечните точки с оста x на графиката на g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Избери един отговор:
(Избор А)
left parenthesis, 1, ;, 0, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, ;, 0, right parenthesis и left parenthesis, 5, ;, 0, right parenthesis
(Избор Б)
left parenthesis, minus, 1, ;, 0, right parenthesis, left parenthesis, 2, ;, 0, right parenthesis и left parenthesis, minus, 5, ;, 0, right parenthesis

[Имам нужда от помощ!]

г) Коя от следните графики може да бъде графиката на g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Избери един отговор:
(Избор А)
(Избор Б)
(Избор В)
(Избор Г)

[Имам нужда от помощ!]

2) Кое от следните може да е графиката на y, equals, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared