Въведение в симетрия на функции

Една фигура е симетрична, ако остава непроменена при симетрия спрямо някой от нейните диагонали.

Например петоъгълникът по-горе е симетрична фигура.

Обърни внимание, че правата $l$‍ е ос на симетрия, и че фигурата е огледален образ на самата себе си спрямо тази права.

Тази идея за симетричност може да бъде приложена към фигурите на графиките. Нека разгледаме това.

Една функция е четна функция, ако графиката ѝ е симетрична спрямо оста $y$‍.

Например функцията $f$‍, графиката на която е по-долу, е четна функция.

Увери се самостоятелно, като плъзнеш точката по оста $x$‍ отдясно наляво. Забележи, че графиката остава непроменена при симетрия спрямо оста $y$‍!

Разгледано от алгебрична гледна точка, една функция $f$‍ е четна, ако $f(-x)=f(x)$‍ за всички възможни стойности на аргумента $x$‍.

Например обърни внимание за четната функция по-долу как симетрията спрямо оста $y$‍ гарантира, че $f(x)=f(-x)$‍ за всички стойности на аргумента $x$‍.

Една функция е нечетна функция, ако графиката ѝ е симетрична спрямо началото на координатната система.

Визуално това означава, че можеш да завъртиш фигурата на ${180}^{\circ }$‍ около началото на координатната система, и тя остава непроменена.

Друг начин да визуализираме симетрията спрямо началото на координатната система е да си представим изобразяване при осева симетрия спрямо оста $x$‍, последвано от осева симетрия спрямо оста $y$‍. Ако при това графиката на функцията остава непроменена, графиката е симетрична спрямо началото на координатната система.

Например функцията $g$‍, чиято графика е представена по-долу, е нечетна функция.

Увери се самостоятелно, като плъзнеш точката по оста $y$‍ отгоре надолу (за да намериш симетричния образ на функцията спрямо оста $x$‍), и точката по оста $x$‍ отдясно наляво (за да намериш симетричния образ на функцията спрямо оста $y$‍). Забележи, че това е първоначалната функция!

От алгебрична гледна точка една функция $f$‍ е нечетна, ако $f(-x)=-f(x)$‍ за всички възможни стойности на $x$‍.

Например обърни внимание, че за нечетната функция по-долу симетрията на функцията гарантира, че стойността $f(-x)$‍ винаги е с противоположен знак на стойността $f(x)$‍.