Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 10

Урок 34: Крайно поведение на полиномни функции

Поведение в краищата на полиноми

Научи какво е поведението в краищата на даден полином и как можем да го намерим от уравнението на полинома.

В този урок ще научиш какво представлява "гранично поведение" на даден полином и как да го анализираме от графика или уравнение.

Какво означава "гранично поведение"?

Граничното поведение на една функция

f

описва поведението на графиката на функцията в "краищата" на оста

x

Казано по друг начин, граничното поведение на една функция описва тенденцията на графиката, ако погледнем десния край на оста

x

(когато

x

клони към

+ \infty

) и левия край на оста

x

(когато

x

клони към

- \infty

Разгледай например тази графика на полиномната функция

f

. Обърни внимание, че когато се придвижваш надясно по оста

x

, графиката на

f

отива нагоре. Това означава, че колкото повече нараства

x

f (x)

също нараства все повече и повече.

Записваме това математически по следния начин: когато

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

. (Изговаряме го: "когато

x

клони към плюс безкрайност,

f (x)

клони към плюс безкрайност.")

В другия край на графиката, когато се придвижваме наляво по протежение на оста

x

(като си представим, че

x

клони към

- \infty

), графиката на

f

отива надолу. Това означава, че колкото по-малко става

x

(става все повече и повече отрицателно),

f (x)

също става все по-отрицателна и по-отрицателна.

Записваме това математически по следния начин: когато

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

. (Казваме, че "когато

x

клони към минус безкрайност,

f (x)

клони към минус безкрайност.")

Провери знанията си

1) Това е графиката на

y = g (x)

Какво е граничното поведение на функцията $g$ ‍?

(Избор А)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Избор Б)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Избор В)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Избор Г)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

Алгебрично определяне на граничното поведение

Можем да определим граничното поведение на една полиномна функция и от нейното уравнение. Това често е удобно, когато се опитваме да начертаем графиката на функцията - знаенето на граничното поведение ни помага да визуализираме графиката в "краищата."

За да определим граничното поведение на един полином

f

от уравнението му, можем да разглеждаме стойностите на функцията за големи положителни и големи отрицателни стойности на

x

По конкретно отговаряме на следните два въпроса:

Когато $x \to + \infty$ ‍, към какво клони $f (x)$ ‍?
Когато $x \to - \infty$ ‍, към какво клони $f (x)$ ‍?

Изследване: Гранично поведение на едночлени

Едночленните функции са полиноми от вида

y = a x^{n}

, при които

a

е някакво реално число, а

n

е неотрицателно цяло число.

Нека разгледаме алгебрично граничното поведение на няколко едночлена и видим дали можем да направим някакви заключения.

2) Разгледай едночлена

f (x) = x^{2}

За много големи положителни стойности на $x$ ‍, кое описва най-добре $f (x)$ ‍?

За много големи отрицателни стойности на $x$ ‍, кое най-добре описва $f (x)$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

3) Разгледай едночлена

g (x) = - 3 x^{2}

За много големи положителни стойности на $x$ ‍, кое описва най-добре $g (x)$ ‍?

За много големи отрицателни стойности на $x$ ‍, кое описва най-добре стойността на функцията $g (x)$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

4) Разгледай едночлена

h (x) = x^{3}

За много големи положителни стойности на $x$ ‍ кое описва най-добре стойността на функцията $h (x)$ ‍?

За много големи отрицателни стойности на $x$ ‍, кое от следните твърдения описва най-добре стойността на функцията $h (x)$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

5) Разгледай едночлена

j (x) = - 2 x^{3}

За много големи положителни стойности на $x$ ‍ кое от следните твърдения описва най-добре стойността на функцията $j (x)$ ‍?

За много големи отрицателни стойности на $x$ ‍, кое от следните твърдения най-добре описва стойността на функцията $j (x)$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

Заключение на изследването

Обърни внимание как степента на едночлена

(n)

и водещият коефициент

(a)

се отразяват на граничното поведение.

Когато

n

е четно число, тогава поведението на функцията в двата "края" е едно и също. Знакът на водещия коефициент определя дали и двете клонят към

+ \infty

, или и двете клонят към

- \infty

Когато

n

е нечетно число, тогава поведението на функцията в двата "края" е противоположно. Знакът на водещия коефициент определя кое е

+ \infty

и кое е

- \infty

Това е обобщено в таблицата по-долу.

**Гранично поведение на едночлени: $f (x) = a x^{n}$ ‍**
$n$ ‍ е четно, а $a > 0$ ‍	$n$ ‍ е четно, а $a < 0$ ‍
Когато $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, а когато $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.	Когато $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, а когато $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍

$n$ ‍ е нечетно, а $a > 0$ ‍	$n$ ‍ е нечетно, а $a < 0$ ‍
Когато $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, а когато $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.	Когато $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, а когато $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍

Провери знанията си

6) Какво е граничното поведение на $g (x) = 8 x^{3}$ ‍?

(Избор А)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Избор Б)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Избор В)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Избор Г)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

Гранично поведение на полиноми

Сега знаем как да намираме граничното поведение на едночлени. Но какво да кажем за полиноми, които не са едночлени? Какво да кажем за функции като

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

Като цяло граничното поведение на дадена полиномна функция е същото като поведението в краищата на водещия ѝ член или члена с най-големия степенен показател.

Следователно граничното поведение на

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

е същото като граничното поведение на едночлена

- 3 x^{2}

Тъй като степента на

- 3 x^{2}

е четна

(2)

и водещият коефициент е отрицателен

(- 3)

, граничното поведение на

g

е: когато

x \to - \infty

g (x) \to - \infty

и когато

x \to + \infty

g (x) \to - \infty

Провери знанията си

7) Какво е граничното поведение на $f (x) = 8 x^{5} - 7 x^{2} + 10 x - 1$ ‍?

(Избор А)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍ и когато $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Избор Б)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍ и когато $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.
(Избор В)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍ и когато $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Избор Г)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍ и когато $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

8) Какво е граничното поведение на $g (x) = - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2}$ ‍?

(Избор А)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Избор Б)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Избор В)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Избор Г)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

Защо водещият член определя граничното поведение?

Това е така, защото водещият член има най-голям ефект върху стойностите на функцията за големи стойности на

x

Нека разгледаме това по-подробно, като анализираме функцията

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

за големи положителни стойности на

x

Когато

x

клони към

+ \infty

, знаем че

- 3 x^{2}

клони към

- \infty

7 x

клони към

+ \infty

Но какво е граничното поведение на техния сбор? Нека заместим няколко стойности на

x

във функцията, за да го намерим.

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$7 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 7 x$ ‍
$1$ ‍	$- 3$ ‍	$7$ ‍	$4$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$70$ ‍	$- 230$ ‍
$100$ ‍	$- 30 000$ ‍	$700$ ‍	$- 29 300$ ‍
$1000$ ‍	$- 3 000 000$ ‍	$7000$ ‍	$- 2 993 000$ ‍

Забележи, че когато

x

става по-голямо, поведението на полинома е като това на

- 3 x^{2} .

Но нека предположим, че членът

x

има малко повече тежест. Какво ще се случи, ако вместо

7 x

имахме

999 x

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$999 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 999 x$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$9990$ ‍	$9690$ ‍
$100$ ‍	$- 30 000$ ‍	$99 900$ ‍	$69 900$ ‍
$1000$ ‍	$- 3 000 000$ ‍	$999 000$ ‍	$- 2 001 000$ ‍
$10 000$ ‍	$- 300 000 000$ ‍	$9 990 000$ ‍	$- 290 010 000$ ‍

Отново виждаме, че за големи стойности на

x

поведението на полинома е като

- 3 x^{2}

. Тъй като беше необходима голяма стойности на

x

, за да видим тенденцията и тук, това отново се потвърждава.

В действителност, без значение какъв е коефициентът на

x

, за достатъчно големи стойности на

x

стойността на

- 3 x^{2}

в крайна сметка ще надделее!

Задачи с повишена трудност

9*) Коя от следните графики може да бъде графиката на $h (x) = - 8 x^{3} + 7 x - 1$ ‍?

[Имам нужда от помощ!]

10*) Какво е граничното поведение на $g (x) = (2 - 3 x) (x + 2)^{2}$ ‍?

(Избор А)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Избор Б)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Избор В)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Избор Г)
Когато $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, и когато $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Имам нужда от помощ!]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.