Въведение в теоремата на Безу

Нека се запознаем с теоремата за делене на полиноми с остатък (Теорема на Безу). И, както ще видим след малко, отначало ще я помислиш за магия. Но в бъдещи видеа ще я докажем и ще видим... както много неща в математиката, когато премислиш добре, може би всъщност не е магия. Каквa е теоремата за делене на полиноми с остатък? Тя ни казва, че ако започнем с някакъв полином, f(х)... Това тук е един полином. Полином. И го делим на (х - а). Тогава остатъкът от това дълго деление на полином ще е f(а). Той ще е f(а). Знам, че в момента това може да изглежда малко абстрактно. Говоря за f(х) и (х - а). Нека го направим малко по-конкретно. Да кажем, че f(х) е равно на – ще си измисля нещо – да кажем, полином от втора степен. Но това ще е вярно за всеки полином. 3х^2 - 4х + 7. Да кажем, че а е 1. Ще разделим това на... ще го разделим на (х - 1). В този случай а = 1. Нека извършим дългото делене на полинома. Окуражавам те да спреш видеото на пауза. Ако не ти е познато дългото деление на полиноми, те съветвам да гледаш видеото за него това видео, понеже ще приема, че знаеш как се извършва дълго деление на полиноми. Раздели 3х^2 - 4х + 4 на (х - 1). Виж колко ще получиш като остатък и дали този остатък наистина е f(1). Приемам, че се опита. Нека работим заедно. Нека разделим 3х^2 - 4х + 7 на (х - 1). Добре, малко дълго делене на полиноми никога не е лошо начало на сутринта. За мен е сутрин. Не знам за теб. Добре, гледам х члена тук – члена от най-висока степен. И после ще започна с члена от най-висока степен тук. Колко пъти х влиза в 3х^2? Влиза 3х пъти. 3х по х е 3х^2. Ще запиша 3х ето тук. Ще го запиша над мястото за първа степен. 3х по х е 3х^2. 3х по -1 е -3х. И сега искаме да извадим това. Така се прави при традиционното дълго деление. Колко получаваме? 3х^2 минус 3х^2, това ще е просто 0. И към това -4х ще имаме плюс 3х. Отрицателна стойност на отрицателно число... -4х + 3х ще е -х. Ще направя това в нов цвят. Това ще е -х. И после можем да свалим това 7. Пълна аналогия с когато за пръв път научи за дългото деление в може би, не знам, трети или четвърти клас. Всичко, което направих, е да умножа 3х по това. Получаваш (3х^2 - 3х) и после извадих това от (3х^2 - 4х), за да получа това тук. Или можеш да кажеш, че го извадих от целия този полином и после получих (-х + 7). Колко пъти (х - 1) се съдържа в (-х + 7)? х се съдържа в -х... -1 пъти. -1 по х е -х. -1 по -1 е +1. Но после ще искаме да извадим това и това ще ни даде остатъка. Тоест -х - (-х). Това е същото като -х + х. Тези ще дадат сбор от 0. И после имаш 7. Това няма да е 7 + 1. Помни, имаш отрицателен знак, така че като разкриеш скобите, това ще е -1. 7 - 1 е 6. Остатъкът ти тук е 6. Един начин да мислиш за това е да кажеш, че... Всъщност ще запазя това за бъдещо видео. Това тук е остатъкът ни. И понеже това е преговор на дългото полиномно деление, знаеш, че остатъкът е когато получиш нещо, което е от по-ниска степен. Това е, предполагам можеш да го наречеш полином от степен 0. Това е от по-ниска степен от това, на което делиш, или от (х - 1), от делителя . Това е от по-ниска степен; това е остатъкът. Това повече не може да влезе в това. Според теоремата за делене на полином с остатък, ако това е вярно – и тук просто избрах случаен пример. Това не е доказателство, а просто начин да конкретизираме това, което теоремата за делене на полином с остатък ни казва. Ако теоремата за делене на полином с остатък е вярна, тя ни казва, че f(а), в този случай, 1, f(1) трябва да е равно на 6. Трябва да е равно на този остатък. Нека се уверим в това. Това ще е равно на 3 по 1^2, което ще е 3, минус 4 по 1, така че това ще е - 4, плюс 7. 3 - 4 е -1, плюс 7 – заслужаваме аплодисменти – наистина е равно на 6. Това, поне за този пример в частност, изглежда подкрепя факта, че теоремата за делене на полином с остатък работи. Но приложението ѝ е, например ако някой каже: "Какъв е остатъкът, ако разделя 3х^2 - 4х + 7 на (х - 1), ако ме интересува остатъка?" Не ги интересува частното. Интересува ги само остатъка и можеш да кажеш, че в този случай а е 1. Мога да въведа това. Мога да изчисля f(1) и ще получа 6. Не трябва да правя всичко това. Просто трябва да направя това, за да намеря колко е остатъкът на 3х^2 - 4х + 7, делено на (х - 1).