Доказателство на теоремата на Безу

Нека докажем теоремата за делене на полиноми с остатък (теорема на Безу). За да конкретизираме доказателството ще започна с примера, който видяхме във видеото, което ни въведе в теоремата за делене на полиноми с остатък. Видяхме, че ако вземеш 3х^2 - 4х + 7 и после разделиш това на (х - 1), получаваш 3х - 1 с остатък от 6. Когато извършим дълго полиномно делене, как знаем кога сме стигнали до остатъка? Когато стигнем до израз, който има по-ниска степен от делителя, от това, на което делим другото нещо. В този пример можехме да преобразуваме това, което направихме тук, като f(х). Нека го запиша ето тук. Можехме да кажем – 3х^2 - 4х + 7 е равно на (х - 1) по частното тук или частното по (х - 1). Това ще е равно на всичко тук. Това ще е равно на 3х - 1 по делителя, по (х - 1). Когато умножиш тези две неща, не получаваш точно това. Все още трябва да добавиш остатъка. Тоест плюс остатъка. Нека запиша остатъка. Тоест плюс 6. Аналогията тук е точно аналогията, както при традиционното деление. Ако кажа – нека просто покажа аналогията. Ако кажа 24 делено на 4, тогава ще каже, че 4 влиза в 25 6 пъти, 6*4 е 24. Ще извадиш и после ще получиш остатък 1. Или друг начин да кажем това е че 25 е равно на 6*4 + 1. Тук направихме напълно същото нещо, но го направихме с изрази. Отново, не съм започнал доказването все още, просто исках да свикнеш с това, което написах тук. Ако разделях този полином на този израз и получех това частно, това е същото нещо като да кажем, че този полином може да е равен на (3х - 1) по (х - 1) + 6. Това по принцип е вярно. Нека малко се абстрахираме. Това е f(х). Това е f(х). f(х) ще е равна на колкото е частното. Нека наричам това q(х). Ще направя това в различен цвят. Ще наричам това q(х). Това тук е q(х). f(х) ще е равна на частното, q(х), по – това е нашето (х - а), в този случай а е 1, но просто опитвам да генерализирам нещата. (х - а) и после плюс остатъка. Знаем, че остатъкът ще е константа, понеже остатъкът ще е от по-ниска степен от (х - а). (х - а) е от първа степен. За да е от по-ниска степен, това трябва да е степен 0. Това трябва да е константа. Така че това по принцип е вярно. Това е вярно за всеки полином – f(х) делено на всяко (х - а). Това е вярно. Това е вярно за всеки f(х) и (х - а). Какво ще се случи, ако изчислим f(а)? Ако f(х) може да бъде записано така, можем да запишем f от... нека направя това в нов цвят, за да се отличава. Можем да запишем, че f(а) ще е равно на q(а) по – мисля, че може би виждаш накъде отива това – по (а - а) + r. На колко ще е равно това? На колко ще е равно всичко това? а - а е 0 и q(а) – не ме интересува колко е q(а) – ако ще го умножаваш по 0, всичко това ще е 0. Така че f(а) ще е равно на r. И готово. Това е доказателството на теоремата за делене на полиноми с остатък (теорема на Безу). Всяка функция, ако когато я разделиш на (х - а), получаваш частно q(х) и остатък r, може да бъде записана по този начин. Ако е записана по този начин и я изчислиш при f(а) и поставиш а ето тук, тогава ще видиш, че f(а) ще е колкото е бил остатъкът. Това е теоремата за делене на полиноми с остатък. И сме готови. Едно от най-лесните доказателства, които съществуват, за нещо, което отначало изглежда донякъде като магия.