If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 10

Урок 37: Симетрия на полиномни функции
Математика
Алгебра (цялото съдържание)
Полиномни изрази, уравнения и функции
Симетрия на полиномни функции
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Симетрия на многочлени

Класна стая на Google
Научи как да определяме дали дадена многочленна функция е четна, нечетна, или нито едно от двете.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Една функция е четна функция, ако графиката ѝ е симетрична спрямо оста у.
Алгебрично f е четна функция, ако f(−x)=f(x) за всички х.
Една функция е нечетна функция, ако графиката ѝ е симетрична спрямо началната точка на координатната система.
Алгебрично f е нечетна функция, ако f(−x)=−f(x) за всички х.
Ако това е ново за теб, препоръчваме да видиш въведение в симетрия на функции.

Какво ще научиш в този урок

Ще научиш как да определиш дали един полином е четен, нечетен или нито едно от двете, въз основа на уравнението на полинома.

Изследване: Симетрия на едночлени

Едночлен е полином с един член. Едночлените има вида f(x)=axn, където а е реално число и n е цяло число по-голямо от или равно на 0.
В това изследване ще анализираме симетрията на няколко едночлена, за да видим дали можем да открием общите условия за един едночлен да е четен или нечетен.
Като цяло, за да определим дали една функция f е четна, нечетна или нито четна, нито нечетна, анализираме уравнението за f(−x):
  • Ако f(−x) е същото като f(x), тогава знаем, че f е четна.
  • Ако f(−x) е противоположното на f(x), тогава знаем, че f е нечетна.
    • В противен случай не е нито четна, нито нечетна.
Като първи пример нека определим дали f(x)=4x3 е четна, нечетна или нито едното.
f(−x)=4(−x)3=4(−x3)(−x)3=−x3=−4x3Опрости=−f(x)След като f(x)=4x3
Тук f(−x)=−f(x) и затова функцията f е нечетна функция.
Сега опитай няколко примера самостоятелно, за да видиш дали можеш да намериш модел.
1) g(x)=3x2 четна, нечетна или нито едно от двете е?
Избери един отговор:

2) h(x)=−2x5 четна, нечетна или нито едно от двете е?
Избери един отговор:

Заключение на изследването

От горните задачи виждаме, че ако f е едночленна функция на четна степен, тогава функцията f е четна функция. Подобно, ако f е едночленна функция на нечетна степен, тогава функцията f е нечетна функция.
Четна функцияНечетна функция
Примериg(x)=3x2h(x)=−2x5
Като цялоf(x)=axn където n е четнаf(x)=axn където n е нечетна
Това е понеже (−x)n=xn където n е четна и (−x)n=−xn където n е нечетна.
Това вероятно е причината четните и нечетните функции да са били наречени така.

Изследване: Симетрия на полиноми

В това изследване ще проучим симетрията на полиномите с повече от един член.

Пример 1: f(x)=2x4−3x2−5

За да определим дали f е четна, нечетна или нито едното, намираме f(−x).
f(−x)=2(−x)4−3(−x)2−5=2(x4)−3(x2)−5(−x)n=xnкогато n е четно=2x4−3x2−5Опрости=f(x)След като f(x)=2x4−3x2−5
След като f(−x)=f(x), функцията f е четна функция.
Забележи, че всички членове на f са на четна степен.

Пример 2: g(x)=5x7−3x3+x

Отново започваме като намираме g(−x).
g(−x)=5(−x)7−3(−x)3+(−x)=5(−x7)−3(−x3)+(−x)(−x)n=−xn когато n е нечетно=−5x7+3x3−xОпрости
В този момент забележи, че всеки член в g(−x) е противоположното на всеки член в g(x). С други думи, g(−x)=−g(x) и затова g е нечетна функция.
Забележи, че всички членове на g са на нечетна степен.

Пример 3: h(x)=2x4−7x3

Нека намерим h(−x).
h(−x)=2(−x)4−7(−x)3=2(x4)−7(−x3)(−x)4=x4 и (−x)3=−x3=2x4+7x3Опрости
2x4+7x3 не е същото като h(x), нито е противоположното на h(x).
Математически, h(−x)≠h(x) и h(−x)≠−h(x) така че h не е нито четна, нито нечетна.
Обърни внимание, че h съдържа един член на честна степен и един на нечетна степен.

Заключение на изследването

Като цяло можем да определим дали един полином е четен, нечетен или нито едното като проучим всеки отделен член.
xГенерално правилоПримерен полином
ЧетенЕдин полином е четен, ако всеки член е четна функция.f(x)=2x4−3x2−5
НечетенЕдин полином е нечетен, ако всеки член е нечетна функция.g(x)=5x7−3x3+x
Нито еднотоЕдин полином е нито четен, нито нечетен, ако е изграден и от четни, и от нечетни функции.h(x)=2x4−7x3

Провери знанията си

3) f(x)=−3x4−7x2+5 четна, нечетна или нито едно от двете е?
Избери един отговор:

4) g(x)=8x7−6x3+x2 четна, нечетна или нито едно от двете е?
Избери един отговор:

5) h(x)=10x5+2x3−x четна, нечетна или нито едното е?
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.