Разлагане на биноми и комбинаторика (старо)

В това видео ще се опитам да ви създам представа за това, защо умножението на биноми включва комбинаторика. Защо всъщност изобщо имаме там биномни коефициенти. Ще използвам няколко цвята. Цветовете всъщност няма да бъдат произволни този път. Само, за да добиете представа. Нека да умножим "а" плюс "b" на трета степен. "а" плюс "b" на трета степен, това е "а" плюс "b" по - ще продължа да сменям цветовете. Ще трябва ме изтърпите, но това трябва да бъде надявам се ползотворно. - По "а" плюс "b", по - нека да избера подходящ различен цвят, може би синьо - по "а" плюс "b". И нека направя това с помощта на свойството на разлагането. Това се равнява на "а" по - връщаме се обратно в зелено -"а" плюс "b". С различно зелено. Искам да се уверя, че използвам правилното зелено, просто защото цветовете този път са от значение. "а" плюс "b" - това е досадно, но си струва - плюс "b" по "а" плюс "b". И след това всичко това, умножено по "а" плюс "b" отново. Нека умножим тази вътрешна част. Ще го продължа и ще го умножа. Това ще бъде "а", умножено по зелено "а" - знаем, че всички те са еднакви "а"-та - плюс - трябваше да направя плюсовете в неутрален цвят, но така е добре - плюс "а" по - може да намирате това досадно, но то ще ви се отплати накрая - "а" по "b". След това имаме плюс "b" по "а", плюс жълто "b" по зелено "b". И след това всичкото това - почти сме готови. Почти свършихме. Всичко това, умножено по "а" плюс "b". И това по същество е, че ние ще умножим "а" по всичко. Това синьо "а" по всичкото това и плюс това синьо "b" по всичко това. Нека умножим синьото "а" по всичко това. Първият член ще бъде жълто "а", зелено "а" и след това синьо "а". Ще бъде "a","a","а". О, това е различно синьо, но мисля че схващате идеята. Плюс това, умножено по синьо "а". Жълто "а", зелено "b" и след това синьо "а", плюс жълто "b", зелено "а", синьо "а" - надявам се, че не ви обърквам - b,a,a. b, a, a. Почти сме готови. Плюс жълто "b" по зелено "b", по синьо "а". Направихме всички сини "а"-та, най-накрая. Тук има синьо "а". Плюс .....- Сега ще направим синьото "b", умножено по всичко. И така, жълто "а", умножено по зелено "а". Нали? Жълто "а", зелено "а", после синьо "b", по зелено "а", по синьо "b" - почти сме готови, знам че това е досадно - по синьо "b", плюс жълто "а". Интуицията не се създава лесно, все пак. Жълто "а" - ние сме на този член - жълто "а", зелено "b", синьо "b". Зелено "b" по синьо "b". Сега сме в жълто "b" - доброто нещо за цветовете е, че е лесно да следите къде сме. Плюс жълто "b" по зелено "а", по синьо "b". И след това сме на последното. Плюс жълто "b", зелено "b", по синьо "b". Това е извеждането на "а" плюс "b" на трета степен, нали? Не го опростихме изобщо и аз направих това поради една причина. Защото виждате, че всеки член тук - какво се случва тук? Всеки член има точно по един - това са 3 числа, които се умножават, нали? Всеки член се състои от 3 числа, умножени едно по друго. И това е едно от, знаете, жълтото число идва на първо място - от това жълто "а" плюс "b". Зеленото число - е средното число - идва от това средното "а" плюс "b". И след това синьото число идва от това дясното "а" плюс "b". И вие ме видяхте, че минах през целия път до него, нали? Така че, надявам се, че вярвате на това. Нека помислим за това по няколко различни начина. За генериране на всеки един от тези членове, в разгръщането на "а" плюс "b" на трета, ние избираме или "а" или "b" от - от жълто "а" плюс "b", избираме или "а" или "b". Нали? Избираме "а" тук, избираме "а" и тук. Избираме "b" тук, "b" тук, "а" тук, "а"тук, "b" -. И от групата на зеленото "а" плюс "b" избираме или "а" или "b". И след това от синьото "а" плюс "b", избираме или "а", или "b". Нали? Така че, по същество разлагането, ако помислите за това, това разлагане - по същество го правим всеки път, като избираме 3 различни неща. Всеки път избираме или "а" или "b", от тези 3 различни члена. И това завършва с тези - колко са? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 члена. Нали? Сега нека го направим малко по - нека ви дам малко по-голяма представа, за това какво се случва. Мисля, че това ще стане, ако започнете да осъзнавате, защо това се отнася в частност до пермутации и комбинации. След като го опростим, какво се случва? Това е "а" на трета, нали? Това е само "а" на трета степен. Това е "а на квадрат b". Кои са другите членове "а на квадрат b"? Нека да видим, "а квадрат b". Това е също "а квадрат b". Нека запиша отдолу всичките "а" на квадрат. Да видим - нека видим колко члена "а квадрат b" има. Ще го направя в неутрален цвят. Това е "а квадрат b". Това е "bа на квадрат", но това също е "а на квадрат b". Кое друго е "а квадрат b"? Това също е "а квадрат b", нали? "а" по "а", по "b". Така че, имаше 3 места, където се получава "а квадрат b". Ето защо, когато евентуално пишем уравнението, то ще - знаем, че коефициентът пред него е "3а квадрат b", нали? Коефициентът на "а квадрат b" члена, когато всъщност го умножаваме. Правили сме това няколко пъти вече, когато разглеждахме биномната теорема, когато повдигахме на трета степен. От къде идва това 3 и защо това е същото нещо, както когато учихме дефиницията на биномната теорема? Защо е...- дали това е просто случаят, дали това е същото нещо като 3 над 2 по "а квадрат b"? Ами, не. Мислейки за него по този начин. Вече знаем, че всяки член тук, всяки член в уравнението - по същество ние вземаме или "а", или "b" от всяко едно от тези, нали? Трябва да вземем един член от всяко от тях. Така че начина, по който може да мислите за това, за "а квадрат b" - да получите "а квадрат b" -трябва да кажем по същество, колко комбинации има? И това е ключовата дума. Колко комбинации има там, където от тези три "а" плюс "b" члена, избирам члена "а"? Избирам 2 члена "а". Защото за да получа "а" квадрат, трябва да избера члена "а" два пъти. И това е мястото, където трябва да избера 2 члена "а" от трите пъти, през които мога да избирам. И така избинам три пъти. Два пъти, избирам члена "а". Така че, от три пъти, избирам 2 от тях. И това е, от където идва 3 над 2 за члена "а квадрат b". И затова можете за члена "ab" квадрат, можете да кажете, избирам "а" веднъж. Колко много начини има да изберете "а" веднъж, когато разполагам с 3 неща? Това може да бъде 3 над 1. Но това е същото нещо или трябва да бъде равно на - може също да кажете: аз избирам - колко начини има да взема "b" два пъти, ако избирам три пъти? Ако това е "b" квадрат, избирам "b" два пъти. Това би трябвало да бъде равно на 3 избира "2ab квадрат". И ако ги упражнявате, ще откриете, че тези двете ще се окаже, че ще бъдат 3. И всъщност, затова има известна симетрия там и всички комбинации съвпадат. Но надявам се, че това ви дава някаква представа. По същество, когато правите - такова биномно разлагане на това..... - Нека само го напиша отново. Знаете, че това е "а" плюс "b" на трета. Това е 3 над 0 от "а на трета b на нулева", плюс 3 над 1 от "а квадрат b на първа", бихме могли да кажем. Плюс 3 над 2 от "ab" квадрат, плюс 3 над 3 от "а на нулева b на трета". Така че, какво ни показва това? Какво казва 3 над 3? Колко пъти - ако избирам от 3 различни неща - колко пъти мога да избера точно 3 "b"-та? Ето как можете да го разглеждате. Колко пъти мога да избера 3 "b"-та? Аз избирам или "а", или "b", нали? Може да кажете, че това "а" е или от началото или от края, или е червено, или черно, или бяло, но това е или "а" или "b". Колко пъти мога да избера "b" три пъти от 3 неща? Когато изчислите това, получавате това да е един път и в това има смисъл. Защото това е "1b" на трета. И по същия начин, можете да разглеждате това, като колко пъти, когато избирам от 3 неща, мога да избера точно 0 b-та? Това е 3 над 0. Колко пъти мога да избера точно 0 b-та? Това е същото нещо, като колко пъти мога да избра точно 3 "а"-та? Това е също 1. Има само един начин да го направите. И това е начинът. Още веднъж има само един начин да направите това, и това беше начина. Има 3 начина да получите "а квадрат b". Има 3 комбинации. Има 3 възможности - всъщност уникални пермутации. Но те всички са една и съща комбинация. Така че, има 3 еднакви комбинации за избирането на 2 "а"-та и "b", и това са тази и тази, и тази. Надявам се, че не съм ви объркал. И се надявам също поне минимално, това да ви даде косвена представа, защо комбинациите са дори включени в биномната теорема или дори са включени, когато разлагате бином на някаква степен. В най-добрия случай, наистина се надявам, че съм ви дал дълбока представа, защо това се случва. Ще се видим в следващото видео.