Видове представяния на квадратната функция и намиране на нулите и върха ѝ

Дадена ни е функцията f(x)=x^2 – 5x + 6 Искам да помислим в какъв друг вид можем да я преработим, ако например искаме да намерим нулите ѝ. За да намерим къде функцията пресича оста х, в какъв вид щяхме да я представим? А в какъв вид най-лесно ще намерим каква е минималната ѝ стойност? Имаме положителен коефициент пред члена х^2. Следователно това е парабола, която е отворена нагоре. Но каква е минималната ѝ точка? Или кой е върхът на тази парабола? Ако това е функцията, можем да я преработим така, че да определим къде пресича оста х. Къде функцията пресича оста х? Вероятно можем да я преработим в такъв вид, че да разберем каква е минималната ѝ точка. Каква е тази точка тук за тази функция? Дори на знам дали функцията изглежда по този начин. Препоръчвам ти да спреш на пауза видеото и да се опиташ да преработиш функцията в тези два различни вида. И така, нека го направим. За да намерим корените, най-лесното нещо, за което мога да се сетя, е да разложим този квадратен израз, чрез който е дефинирана тази функция. Нека да измислим две числа, чието произведение е плюс 6 и чийто сбор е минус 5. Тъй като произведението им е положително число, знаем че те ще имат еднакви знаци. И ако имат еднакъв знак, но получаваме отрицателен сбор, това означава, че и двете са отрицателни. Да видим. Минус 2 по минус 3 е плюс 6. Минус 2 плюс минус 3 е минус 5. Можем да преработим f(х). Нека го направя по този начин. Можем да напишем f(х) = (х –2)(x – 3) Как ни помага това да намерим нулите? Кога този израз отдясно е равен на 0? Той е произведение от тези два израза. Ако един от тях е равен на 0, 0 по каквото и да е е 0. 0 по всичко друго е 0. Така че цялото това нещо ще бъде 0, ако х – 2 = 0 или х – 3 = 0. Прибавяме 2 към двете страни на това уравнение. Получаваш х = 2 или х = 3. Следователно това са двете нули за тази функция, предполагам че можеш да кажеш така. И ние вече можем да помислим малко върху графиката ѝ. Нека се опитаме да я начертаем. Това е х = 1. Това е х = 2. Това ето там е х = 3. И така, това е оста х. Това е оста у или f(x). И ние виждаме, че я пресичаме едновременно тук и тук. Когато х = 2, то f(х) = 0. Когато х = 3, то f(х) = 0. И ти можеш да заместиш всяка от тези стойности в първоначалното уравнение. И ще видиш, че това ще ти даде 0, защото това е същото като това. Сега какво ще кажем за върха? Как можем да преработим тази първоначална функция, за да намерим върха? Вече сме запознати с допълването до точен квадрат. И когато допълниш този израз до точен квадрат, това е доста добър начин за намиране на минималната стойност на функцията. Нека направим това ето тук. Само ще я препиша. Имаме f(x)=x^2 – 5x И ще напиша това плюс 6 чак ето тук. Ще си оставя малко място, защото това, което си мисля да направя, е да прибавя и извадя една и съща стойност. Ще я прибавя тук и ще я извадя там. Мога да го направя, защото все едно прибавям 0. Не променям стойността на тази дясна страна. Но искам да го направя така, че тази част, която е подчертана с лилаво, да е точен квадрат. Ние сме правили това много пъти, когато допълваме до точен квадрат. Препоръчвам ти да изгледаш тези видео клипове, ако имаш нужда да го преговориш. Основната идея е, че това ще бъде точен квадрат, ако вземем този коефициент тук. Вземаме минус 5. Вземаме 1/2 от него, което е минус 5/2 и го повдигаме на квадрат. Можем да го напишем като плюс минус... колко е минус 5/2 на квадрат? Мога да го напиша като (–5/2)^2. Ако повдигнем на квадрат отрицателно число, това ще стане положително. Така че това е същото като 5/2 на квадрат. 5 на квадрат е 25. 2 на квадрат е 4. Така че това ще бъде плюс 25/4. Обаче ако искаме това равенство да остане вярно, трябва да прибавим едно и също нещо и към двете страни. Или ако го прибавим само към тази страна, можем просто да го извадим от нея и няма да променим общата стойност на тази страна. Така че прибавяме 25/4 и изваждаме 25/4. Колко ще стане сега тази част, която подчертах с лилаво? Това ще бъде... Причината да го направя по този начин е, че това може да бъде (х – 5/2)^2. И аз ти препоръчвам да го провериш. Няма да се впускаме в повече подробности защо вземаме 1/2 от коефициента тук и след това го повдигаме на квадрат, прибавяме го там и след това го изваждаме. Правихме го във видео клиповете за допълване до точен квадрат. Но за тези две неща можеш да провериш, че са еквивалентни. Това е тази част. И сега трябва само да опростим 6 минус 25/4. 6 може да бъде написано като 24/4. 24/4 минус 25/4 е минус 1/4, ето така. Преработихме първоначалната функция като f(х) = (х – 5/2)^2 – 1/4. А защо този вид на функцията е интересен? Един от начините да я разглеждаме е, че тази част е винаги неотрицателна. Минималната стойност на тази част в лилаво ще бъде 0. Защо? Защото е повдигната на квадрат. Ако имаш нещо като това – и си имаме работа с реални числа – и го повдигаш на квадрат, никога няма да получиш отрицателна стойност. Минималната му стойност е 0. То очевидно може да има и положителни стойности. Ако търсим кога достига своята минимална стойност, то достига минималната си стойност, когато повдигаш 0 на квадрат. А кога повдигаш 0 на квадрат? Повдигаш 0 на квадрат, когато х – 5/2 = 0, или когато х = 5/2. Т.е. прибавяш 5/2 към двете страни на уравнението. Така че това нещо достига минималната си стойност, когато х = 5/2. А колко е у, или колко е f(х), когато х = 5/2? f(5/2) – можеш да използваш всеки един от тези видове, за да изчислиш f(5/2). Но в този вид е най-лесно. Когато х = 5/2, този член тук става 0. 0^2 = 0. Оставаш само с минус 1/4. Така че другият начин да го разглеждаш е, че върхът е в точката х = 5/2, у = –1/4. х = 5/2. Това е същото като 2 и 1/2. х = 5/2. А у = –1/4. Ако това е –1, то 1/4 ще бъде някъде тук. Това е върхът. Това е точката – нека да е ясно – това е точката (5/2 ; –1/4). Използвахме този вид, за да намерим минималната точка, да намерим върха в този случай. И сега можем да използваме корените като две различни точки, за да получим груба картина как всъщност изглежда тази парабола. Така че интересното – или това, което трябва да запомниш от това видео, е да разбереш, че можем да преработим функцията в различен вид, в зависимост от това какво се опитваме да разберем за тази функция.