Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 9

Урок 6: Допълване до точен квадрат

Решаване на квадратни уравнения чрез допълване до точен квадрат

Например реши x²+6x=-2 чрез преобразуването му в (x+3)²=7 и след това намери корен квадратен.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Досега решава квадратни уравнения или чрез намирането на квадратния им корен, или чрез разлагане. Тези методи са прости и ефективни, когато са приложими. За съжаление те не винаги са приложими.

В този урок ще научиш един метод за решаване на всякакви видове квадратни уравнения.

Решаване на квадратни уравнения чрез допълване до точен квадрат

Да разгледаме уравнението

x^{2} + 6 x = - 2

. Методът с намиране на квадратния корен и методите на разлагане не са приложими тук.

[Защо това е така?]

Но надеждата не е изгубена! Можем да използваме метода, наречен "допълване до точен квадрат". Нека започнем да решаваме и след това да го разгледаме по-подробно.

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & Прибави 9, за да допълниш до точен квадрат. \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & Разложи израза от лявата страна. \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & Намери корен квадратен. \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{7} - 3 & Извади 3. \end{aligned}

В заключение решенията са

x = \sqrt{7} - 3

x = - \sqrt{7} - 3

Какво стана тук?

Като прибавихме

9

към

x^{2} + 6 x

в реда

(2)

, за щастие допълнихме израза до точен квадрат, който може да бъде разложен като

(x + 3)^{2}

. Това ни позволява да решим уравнението чрез намиране на квадратния корен.

Това не беше съвпадение, разбира се. Числото

9

беше внимателно избрано, за да може полученият израз да е точен квадрат.

Как да допълним до точен квадрат

За да разберем как е избрано

9

, трябва да си зададем следния въпрос: Ако

x^{2} + 6 x

е началото на израз, който е точен квадрат, какъв трябва да бъде константният член?

Нека приемем, че изразът може да бъде разложен като точния квадрат

(x + a)^{2}

, където стойността на променливата

a

е все още неизвестна. Този израз се развива като

x^{2} + 2 a x + a^{2}

, което ни показва две неща:

Коефициентът $x$ ‍, за който знаем, че е $6$ ‍, трябва да бъде равен на $2 a$ ‍. Това означава, че $a = 3$ ‍.
Константното число, което трябва да прибавим, е равно на $a^{2}$ ‍, което е $3^{2} = 9$ ‍.

Опитай се да направиш самостоятелно няколко допълвания до точен квадрат.

Задача 1

Какъв е липсващият константен член в точния квадрат, който започва с $x^{2} + 10 x$ ‍ ?

Задача 2

Какъв е липсващият постоянен член в точния квадрат, който започва с $x^{2} - 2 x$ ‍ ?

Задача 3

Какъв е липсващият константен член в точния квадрат, който започва с $x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍ ?

Задача с повишена трудност

Какъв е липсващият константен член в точния квадрат, който започва с $x^{2} + b \cdot x$ ‍?

Тази трудна задача ни дава един кратък начин за допълване до точен квадрат (за тези, които обичат кратките начини и нямат нищо против да ги запомнят наизуст). Тя ни показва, че за да допълним

x^{2} + b x

до точен квадрат, където

b

може да е всяко число, трябва да прибавим

{(\frac{b}{2})}^{2}

към него.

Например за да допълним

x^{2} + 6 x

до точен квадрат, прибавяме

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

към него.

Решаване на уравненията още веднъж

Добре! Щом вече си майстор в допълването до точен квадрат, нека се върнем обратно към решаването на уравнения, като използваме нашия метод.

Нека разгледаме един нов пример, уравнението

x^{2} - 10 x = - 12

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & Прибави 25, за да допълниш до точен квадрат. \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & Разложи израза от лявата страна. \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & Намери корен квадратен. \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{13} + 5 & Прибави 5. \end{aligned}

За да допълним първоначалния израз от лявата страна

x^{2} - 10 x

до точен квадрат, прибавяме

25

в ред

(2)

. И както винаги при уравненията, правим същото за дясната страна, което я кара да се увеличи от

- 12

до

13

По принцип изборът на числото, което трябва да прибавим, за да допълним до точен квадрат, не зависи от дясната страна, но винаги трябва да прибавяме това число и от двете страни.

Сега е твой ред да решиш няколко уравнения.

Задача 4

Реши $x^{2} - 8 x = 5$ ‍.

Задача 5

Реши $x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍.

Подреждане на уравнението преди допълването до точен квадрат

Правило 1: Разделяне на променливите членове от постоянните членове

Ето как се решава уравнението

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & Извади x . \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & Прибави 6. \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & Прибави 4, за да допълниш до точен квадрат. \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & Разложи. \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & Намери корен квадратен. \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = \pm \sqrt{11} - 2 & Извади 2. \end{aligned}

Допълването до точен квадрат в една от страните на уравнението не ни е от полза, ако имаме член

x

от другата страна. Ето защо изваждаме

x

от реда

(2)

, като поставяме всичките променливи членове от лявата страна.

Освен това, за да допълним

x^{2} + 4 x

до точен квадрат, трябва да прибавим

4

към него, но преди да го направим, трябва да сме сигурни, че всичките постоянни членове са от другата страна на уравнението. Затова прибавихме

6

в реда

(3)

, като оставихме само

x^{2} + 4 x

от едната страна.

Правило 2: Увери се, че коефициентът пред $x^{2}$ ‍ е равен на $1$ ‍.

Ето как се решава уравнението

3 x^{2} - 36 x = - 42

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & Раздели на 3. \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & Прибави 36, за да допълниш до точен квадрат. \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & Разложи. \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & Намери корен квадратен. \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x & = \pm \sqrt{22} + 6 & Прибави 6. \end{aligned}

Методът за допълване до точен квадрат действа само ако коефициентът пред

x^{2}

1

[Защо това е така?]

Ето защо в ред

(2)

разделихме на коефициента пред

x^{2}

, който е

3

Понякога деленето на коефициента пред

x^{2}

ще превърне други коефициенти в дроби. Това не означава, че си направил нещо грешно, а само че ще си имаш работа с дроби, за да го решиш.

[Покажи ми пример за уравнение с дроби.]

Сега е твой ред да решиш едно уравнение като това.

Задача 6

Реши $4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 9

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Решаване на квадратни уравнения чрез допълване до точен квадрат

Какво стана тук?

Как да допълним до точен квадрат

Решаване на уравненията още веднъж

Подреждане на уравнението преди допълването до точен квадрат

Правило 1: Разделяне на променливите членове от постоянните членове

Правило 2: Увери се, че коефициентът пред x2‍ е равен на 1‍ .

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Правило 2: Увери се, че коефициентът пред $x^{2}$ ‍ е равен на $1$ ‍.