Оразмеряване и отразяване на параболи

Функция g може да бъде разглеждана като мащабирана версия на f(х)= х^2. Запиши получената функция g(х) аналитично. Както винаги спри видеото на пауза и виж дали можеш да го направиш без моя помощ. Сега нека го направим заедно. Първото нещо, което можем да оценим, е че g изглежда не само е обърната през оста х, но след като е обърната, е разпъната. Нека го направим стъпка по стъпка. Първо нека обърнем през оста х. Нагледно това ще изглежда по следния начин. Когато х е равно на 0, у също ще бъде равно на 0. Но когато х е равно на –1, у няма да е равно на 1, а ще бъде равно на –1. Когато х = 1, вместо да повдигаме на квадрат 1 и да получим 1, вземаме отрицателното му и получаваме –1. Така че обърнатата функция ще изглежда ето така. Когато х е равно на –2, у няма да е равно на 4, а ще бъде равно на –4. Следователно функцията ще изглежда така. Нека да начертаем тази обърната версия. Независимо каква стойност на у получавахме преди за дадено х, сега ще имаме противоположното, т.е. отрицателната на тази стойност. Така че тази зелена функция тук ще бъде у= –f(х). Или можем да кажем, че у= –х^2. Независимо какво х имаме, го повдигаме на квадрат и след това вземаме неговото отрицателно. Ти виждаш, че това ще обърне функцията през оста х. Но само това не ни дава g(х). Изглежда, че g(х) също е и разпъната в хоризонтална посока. Нека помислим върху това дали можем да умножим това по някакъв коефициент, който да прави това разпъване, за да може функцията да съвпадне с g(х)? Най-добрият начин да го направим е да изберем една точка, за която знаем, че се намира на g(х). Всъщност ни е дадена такава. Показано ни е ето тук, че точката (2; –1) се намира на g(х). Когато х е равно на 2, у е равно на –1 за g(х). Така че може да кажем, че g(2) е –1. Сега при зелената функция, когато х е равно на 2, у е равно на –4. Да видим. Може би можем просто да умножим това по 1/4, за да получим g. Нека видим. Ако променим мащаба с 1/4, това ще свърши ли работа? Умножаваме по 1/4. В този случай ще имаме у е равно не само на –х^2, а на –1/4х^2. Може би ще попиташ как получавам 1/4? Гледам, когато х е равно на 2. При зелената функция, когато х е равно на 2, получавам –4. А ние искаме за х = 2 то да бъде равно на –1. –1 е 1/4 от –4. Ето защо можем да проверим дали ако вземем зелената функция и я умножим по 1/4, тя ще съвпадне с g(х). Нека проверим това. Когато х е равно на 0, това също ще бъде равно на 0, така че в това има смисъл. Когато х е равно на 1... нека го напиша с друг цвят... когато х е равно на 1, тогава 1 на квадрат по –1/4... това там наистина изглежда като –1/4. Когато х = 2, 2 на квадрат е 4, по –1/4 наистина е равно на –1. Нека опитаме с тази точка тук, защото изглежда, че и тя се намира на графиката. Когато х = 4, 4 на квадрат е 16. 16 по –1/4 наистина е равно на –4. Като това важи също и за отрицателните стойности на х. Така че се чувствам наистина уверен, че това е уравнението на g(х). g(х) е равно на –1/4х^2. Следователно, когато казваме, че сме я мащабирали, ние променяме мащаба с отрицателна стойност. Отрицателният знак я обръща през оста х, а след това я умножаваме по тази дроб, която има абсолютна стойност по-малка от 1 и това всъщност я разпъва по-нашироко. Ако абсолютната стойност ето тук беше по-голяма от 1, тогава тя щеше да се разпъне вертикално или щеше да стане по-тясна в хоризонтална посока.