Графики на функции с квадратни корени

Мисля, че вероятно познаваш достатъчно добре идеята за корен квадратен, но искам да изясня някои твърдения, които винаги намирам за двусмислени на пръв поглед. Искам да са много ясни. Ако напиша 9 под знака за радикал, мисля, че познаваш това и ще го прочетеш като корен квадратен от 9. Но искам да направя едно уточнение. Когато просто видиш число под знак за корен като този, това означава положителен корен квадратен от 9. И като казвам положителен корен квадратен, наистина имам предвид положителен корен квадратен от 9. Така че това тук е равно на 3. Вече може би знаеш, че 9 има два действителни квадратни корена. По дефиниция корен квадратен е нещо – корен квадратен от 9 е число, което повдигнато на квадрат, е равно на 9. Квадратния корен е 3, но също така и –3. –3 също е корен квадратен от 9. Но ако просто напишеш един радикален знак, ти всъщност имаш предвид положителен квадратен корен или главен квадратен корен. За да се отнася за отрицателен корен квадратен, трябва да се постави знак минус пред знака за корен. Това е равно на –3. Ако искаш да се отнася и за двете, и за положителния, и за отрицателния квадратен корен, ще поставиш знак плюс или минус пред знака за корен. И това е равно на плюс или минус 3. Изяснявайки това, искам да разгледам графиката на функцията y е равно на корен квадратен от х. И да видим как се отнася към функцията y е равно на x... ще го напиша тук, защото ще работя по него. Да видим как тя се отнася до y = x^2. И след това, ако имаме време, ще ги поразместим малко за да разбереш по-добре какво прави така, че тези функции да се местят нагоре и надолу или наляво и надясно. Нека да направя малка таблица със стойности, преди да стигнем до нашия графичен калкулатор. Това е за y = x^2. Имаме стойностите на x и y. Това е y равно на квадратния корен от x. Още веднъж, имаме x и y стойности. Нека просто избера някои произволни стойности за х, и ще остана в положителната част на дефиниционното множество за x. Нека приемем, че x е равно на 0,1. Ще го направя да се отличава цветово. Когато х = 0, на колко ще бъде равно у? y е x на квадрат. 0 на квадрат е 0. Когато x е 1, y е 1 на квадрат, което е пак 1. Когато x е 2, y е 2 на квадрат, което е 4. Когато x е 3, y е 3 на квадрат, което е 9. Това сме го виждали вече. И бих могъл да продължа. Нека да добавя 4 тук. Когато x е 4, y е 4 на квадрат, или 16. Виждали сме всичко това. Правили сме графика на парабола. Това е само малък преговор. Да видим какво се случва, когато y е равно на корен квадратен от х. Нека видим какво се случва. Ще избера нарочно някои стойности на х, такива, че да го направя интересно. Когато х = 0, на колко ще бъде равно у? Корен квадратен от 0? Това е 0. 0 на квадрат е 0. Когато х = 1, корен квадратен от x е +1. Има и друг корен квадратен, който е –1, но нямаме посочено тук дали е положително или отрицателно. Ние просто имаме корен квадратен. Когато x е 4, колко е y? Корен квадратен от 4 е +2. Когато х е равно на 9, колко е y? Когато х е равно на 9, корен квадратен от 9 е 3. И накрая, когато х = 16, корен квадратен от 16 е 4. Мисля, че вече виждаш как са свързани тези двете. Просто разменихме х-овете и y-ците. Това са същите x-ове и y-ци, но тук имаме x е 2, y е 4. Тук x е 4, y е 2. (3; 9), (9; 3). (4; 16), (16; 4). И това е много логично. Ако повдигнеш на квадрат и двете страни на това уравнение, ще получиш y^2 = x. И ще искаш да ограничиш множеството от стойности на y до положителни y-ци, защото това може да действа само на положителни стойности, защото това е положителен корен квадратен. Основната идея, е че просто разменихме х-овете и y-ците между тази функция и тази функция тук, ако приемем дефиниционно множество с положителни х и положителни y. Сега нека да видим как изглеждат графиките. Мисля, че вече може би имаш предположение. Нека само да ги построя тук. Ще ги правя на ръка, защото мисля, че това понякога е полезно, преди да извадим графичния калкулатор. Просто ще остана в положителния, в първия квадрант. Нека начертая първо това. Имаме точка (0; 0), точка (1; 1), точка (2; 2), което аз ще трябва да направя малко по-малко от това. Нека да означа това с 1, 2, 3. Всъщност нека да го направя така. Нека означа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Това е колко далече трябва да отида. И след това имам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Това е приблизително докъдето трябва да стигна и в тази посока. И сега нека ги изобразим. Така, имаме (0; 0); (1; 1); 2 и 1, 2, 3, 4. (2; 4) е тук. (3; 9). 3 точка и запетая, 5, 6, 7, 8, 9. (3; 9) е точно тук. И после имаме (4; 16), точно тук отгоре. Графиката на y = x^2, това сме го виждали преди, ще изглежда нещо като това. Построяваме в положителния квадрант и получаваме това възходящо и отворено U ето така. Сега нека построим y е равно на квадратен корен от х. Тук още веднъж имаме (0; 0). Имаме (1; 1). Имаме (4; 2). 1, 2, 3, 4, точка и запетая, 2. Имаме (9; 3). 5, 6, 7, 8, 9 запетая 3 точно тук. След това имаме (16; 4), точно тук. Тази графика изглежда така. Обърни внимание, те изглеждат така, сякаш са извити по осите. Тази се отваря по оста y, а тази се отваря по оста х. Това е логично, защото ние заменихме х-овете и y-ците. Особено ако работим само в първия квадрант. И всъщност, те са симетрични около правата у = x. В бъдеще ще говорим за обратна пропорционалност, когато ос на симетрия е правата y = x. Можем да построим това по-добре с обикновен графичен калкулатор. Намерих този в интернет. Само чрез бързо уеб търсене. Само искам да призная заслугите на хората, чиито ресурс използвам. Това е https://my.hrw.com/math06_07/nsmedia/tools/Graph_Calculator/graphCalc.html Можеш да спреш на пауза това видео. Би трябвало да можеш да прочетеш това, особено ако го гледаш в HD. Но нека построим тези различни неща. Нека направим построението по-изчистено, отколкото може да се направи на ръка. Нека да остане част от това, което написах тук. Това трябва да... – ОК. Нека първо направим y = x^2. И след това в зелено ще бъде у е равно на квадратен корен от х. Тук отдясно има някои бутони, само за да ти е ясно какво правя. Има бутон квадрат и радикалния знак и всякакви такива. Нека просто се съсредоточа върху това. Нека просто начертаем тези. Първо направи x на квадрат и след това направих квадратен корен от х. Ако се съсредоточим върху първи квадрант, виждаме, че получаваме точно същия резултат, който получих горе, въпреки че моя не е така спретнат. Сега, просто за забавление, все още не съм правил това с обикновени квадратни уравнения, нека видим какво се случва. Какво трябва да направим, за да преместим различните графики. С x^2 ще направя две неща. Ще променя пропорционално графиката и ще я преместя. Това е x на квадрат. Нека просто се съсредоточим върху x^2 и да видим какво се случва, когато го променяме пропорционално. И след това ще го направя и със знака за корен. Това наистина ще важи за всичко. Да видим какво се случва, когато имаме 2 по... не 2 на квадрат, а 2 по х на квадрат. Нека направим и друга, която е 1,5 умножено по... мога просто да я направя 0,5. 0,5 по х на квадрат. Нека ги построим тук. Така, x на квадрат. Забележи, нашия обикновен x^2 е в червено. Ако увеличим 2 пъти, все още имаме парабола с връх на същото място, но се издига по-бързо в двете посоки. Ако имаме 0,5 по x^2, все още имаме парабола, но се издигаме малко по-бавно. Имаме по-широко отворено U, защото нашият коефициент е по-малък от 1. Това е начинът, по който решаваме колко широк или колко тесен е отворът на нашата парабола. Ако искаме да я преместим наляво или надясно, искам да помислиш как става това. Това е x на квадрат. Да речем, че искам да взема само графиката на x на квадрат и искам да я преместя с четири надясно. Това, което правя е, че вземам x – 4. (x – 4)^2. И ако искам да я изместя с две... например с две наляво, това е (x + 2)^2, какво получаваме? Забележи, стана точно това, което казах: (x – 4) ^2 се измести с четири вдясно. (x + 2)^2 се измести с две наляво. На пръв поглед това изместване може да е нелогично. Но наистина помисли какво се случва. Тук върхът е при x = 0. Когато получим 0 на квадрат тук горе. Тук върхът е при х = 4. Когато х = 4, слагаме 4 тук, и получаваме 4 – 4. Все още повдигаме 0 на квадрат. 4 минус 4 е 0 и го повдигаме на квадрат. Когато х = –2, имаме –2 + 2, отново повдигаме на квадрат 0. Каквото и да повдигаме на квадрат, при тази 0 получаваме 4 тук. Или при 4 имаме 0. А тук при –2 имаме 0. Искам да го обмислиш малко. Друг начин за разглеждане на това е, когато х = 1, ние сме в тази точка от червената парабола. Но когато х = 5 на зелената парабола, имаме 5 минус 4. Вътре в скобите имаме 1, което е точно както x =1 тук горе. Така че сме в една и съща точка от параболата. Искам да го обмислиш малко. Може да е малко нелогично да се каже, че –4 се премества надясно, а +2 се премества наляво. Но действително в това има логика. Другото интересно нещо е да се премества графиката нагоре и надолу. И това е всъщност доста ясно. Искаме да повдигнем тази крива нагоре. Да речем, че искаме да повдигнем червената крива малко нагоре. Правим x^2 = +1. Забележи, измества се нагоре. Ако искаме тази зелена крива да бъде изместена надолу с 5, поставяме тук –5. След това я построяваме и имаме изместване с 5 надолу. Ако искаме тя да се отвори малко по-широко от това, може би ще я намалим малко. Намаляваме я например 0,5 пъти. Сега зелената крива ще бъде намалена и се отваря по-бавно, има по-широк отвор. Същото може да се извърши с корен квадратен. Нека да направим това. Нека да направя същата идея. И същото нещо може да се направи с всяка функция. Нека да направим квадратния корен от x. И в зелено, нека преместим функцията с квадратния корен от x. Да речем, –5. Преместваме нагоре и надясно с 5. Нека вземем корен квадратен от (x + 4). Ще го изместим вляво с 4. И нека го изместим надолу с 3. Нека построим всички тези графики. Квадратен корен от x. След това е квадратния корен от (x – 5). Забележи, това е точно същото като корен квадратен от x, но го изместих надясно с 5. Когато х = 5, имам 0 под знака за корен. Това е корен квадратен от 0. Тази точка е еквивалентна на тази точка. При квадратен корен от (x + 4) измествам кривата нагоре и вляво с 4. Когато х = –4, имам 0 под знака за корен. Тази точка е еквивалентна на тази точка. След това извадих 3, с което изместих надолу с 3. Това е моята отправна точка. Ако искам този син квадратен корен да се отворя по-бавно, така че кривата да бъде малко по-тясна, ще го намаля. Въвеждането на малко число ще я намали и ще я направи по-тясна, защото се отваря по оста х. Нека да направя това. Нека да направя тази зелената, да я отворя по-широко. Нека това е 3 пъти корен квадратен от (x – 5). Нека построим всички тези. Забележи, тази синята сега се отваря по-малко, а зелената сега се отваря повече, може да се каже много по-бързо. Тя е увеличена. След това можем да повдигнем тази нагоре с 4. След това я построяваме и ето. И забележи, когато ги построяваме, това не е странична парабола, защото говорим за положителен квадратен корен. Ако бяхме направили плюс или минус корен квадратен, дори нямаше да бъде валидна функция, защото щяхме да имаме по две y стойности за всяка стойност на x. Ето защо трябва да използваме положителния корен квадратен. Надявам се, че беше полезен този малък разговор за отношенията с параболи, и/или х^2 и положителните квадратни корени и как да ги изместваме. Това ще бъде много полезно в бъдеще, когато говорим за обратно пропорционални и изместващи се функции.