Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 13

Урок 4: Събиране и изваждане на рационални изрази

Събиране и изваждане на рационални изрази

Научи ли основното за събиране/изваждане на рационални изрази? Чудесно! Сега натрупай още опит с няколко по-сложни примера.

Какво трябва да знаем преди този урок

Рационален израз е частното на два израза (полинома).

При събиране или изваждане на два рационални израза с еднакъв знаменател просто събираме или изваждаме числителите и записваме резултата върху общия знаменател.

Когато знаменателите не са еднакви, трябва да ги трансформираме така, че да станат еднакви. С други думи, трябва да намерим общ знаменател.

Ако този материал е нов за теб, може би ще поискаш да прегледаш първо следните уроци:

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще упражняваш събирането и изваждането на рационални изрази с различни знаменатели. Ще използваш най-малкия общ знаменател като общ знаменател в тези примери и ще разбереш защо е полезно да го правиш.

Загрявка: start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction

За да извършим изваждане на два рационални израза, двете дроби трябва да имат еднакъв знаменател.

В този пример можем да създадем общ знаменател, като умножим първата дроб по left parenthesis, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction, right parenthesis, а втората дроб по left parenthesis, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, right parenthesis.

[Защо можем да направим това?]

След това можем да извадим числителите и да запишем резултата върху общия знаменател.

\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{3}{\blueE{x-2}}-\dfrac{2}{\greenE{x+1}}} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE{x-2}}{\left(\greenE{\dfrac{x+1}{x+1}}\right)}-\dfrac{2}{\greenE{x+1}}{\left(\blueE{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)} \\\\ &=\dfrac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)} \\\\ &=\dfrac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{3x+3-2x+4}{(x-2)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{x+7}{(x-2)(x+1)} \end{aligned}

Провери знанията си

Задача 1

Събери.
Знаменателят трябва да се развие и опрости. Знаменателят трябва да е или развит, или разложен на множители.

start fraction, 5, x, divided by, x, plus, 3, end fraction, plus, start fraction, 4, divided by, x, plus, 2, end fraction, equals

Най-малки общи знаменатели

Обикновени дроби

Понякога знаменателите на две дроби са различни, но имат някои общи множители.

Наприме разгледай start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE2\cdot \greenE2}+\dfrac{1}{\blueE2\cdot \goldE3} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE2\cdot \greenE2} {\left(\dfrac{\goldE3}{\goldE3}\right)}+\dfrac{1}{\blueE2\cdot\goldE3}{\left(\dfrac{\greenE2}{\greenE2}\right)} \\\\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12} \\\\ &=\dfrac{11}{12} \end{aligned}

Обърни внимание, че общият знаменател, използван в този пример, не е произведението на двата отделни знаменателя (24). Вместо това той е най-малкото общо кратно на 4 и 6 (12).

[Какво означава най-малко общо кратно?]

Най-малкото общо кратно на знаменателите на две или повече дроби се нарича най-малък общ знаменател.

[Откъде разбра, че 12 е най-малкият общ знаменател тук?]

Изрази с променливи

Нека сега да приложим това обяснение, за да извършим следното събиране:

start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction

Първо да намерим най-малкия общ знаменател:

\underbrace{\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}}_{\begin{aligned} &\scriptsize\text{Трябва a} \\ &\scriptsize\text{да се умножи по } \\ &\scriptsize \purpleD{(x+3)} \end{aligned}}+\underbrace{\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}}}_{\begin{aligned} &\scriptsize\text{Трябва a} \\ &\scriptsize\text{да се умножи по } \\ &\scriptsize \blueE{(x-2)} \end{aligned}}

Следователно най-малкият общ знаменател е start color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #0d923f, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color #0d923f, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #7854ab.

Можем да съберем рационалните изрази, както следва:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}+\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}} \\\\ &=\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}{\left(\purpleD{\dfrac{x+3}{x+3}}\right)}+\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}}{\left(\blueE{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)} \\\\ &=\dfrac{2(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+3)}+\dfrac{3(x-2)}{(x+1)(x+3)(x-2)} \\\\ &=\dfrac{2(x+3)+3(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+3)} \\\\ &=\dfrac{2x+6+3x-6}{(x-2)(x+1)(x+3)} \\\\ &=\dfrac{5x}{(x-2)(x+1)(x+3)} \end{aligned}

Провери знанията си

Задача 2

start fraction, 1, divided by, x, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, equals

Задача 3

Извади.
Знаменателят трябва да се развие и опрости. Знаменателят трябва да е или развит, или разложен на множители.

start fraction, 3, x, divided by, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end fraction, minus, start fraction, 4, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end fraction, equals

Задача с повишена трудност

start fraction, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals

Защо да използваш най-малкия общ знаменател?

Може би се чудиш защо е толкова важно да използваш най-малкия общ знаменател, за да събираш или изваждаш рационални изрази.

В края на краищата, това не е задължително и е достатъчно лесно да използваш други знаменатели с обикновените дроби.

Например в таблицата по-долу е изчислено start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction с използване на два различни общи знаменателя: в единия се използва най-малкият общ знаменател (12), а в другия се използва произведението на двата знаменателя (24).

Най-малък общ знаменател (12)	Общ знаменател (24)
$\begin{aligned}~\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}&=\dfrac{3}{\blueE4} {\left(\dfrac{\goldE3}{\goldE3}\right)}+\dfrac{1}{\greenE6}{\left(\dfrac{\purpleD2}{\purpleD2}\right)}\\\\&=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\\\&=\dfrac{11}{12}\\\\&\phantom{\dfrac{1}{2}}\end{aligned}$	$\begin{aligned}\dfrac{3}{\blueE4}+\dfrac{1}{\greenE6}&=\dfrac{3}{\blueE4}\left(\greenE{\dfrac{6}{6}}\right)+\dfrac{1}{\greenE6}\left(\blueE{\dfrac{4}{4}}\right)\\\\&=\dfrac{18}{24}+\dfrac{4}{24}\\\\&=\dfrac{22}{24}\\\\&=\dfrac{11}{12}\end{aligned}$

Обърни внимание, че когато използваш 24 като общ знаменател, е необходима повече работа. Числата са по-големи и се налага получената крайна дроб да бъде опростена.

Това ще се случи също, ако не използваш най-малкия общ знаменател при събиране и изваждане на рационални изрази.

При рационалните изрази, обаче, този процес е много по-сложен, тъй като числителите и знаменателите са многочлени, а не цели числа! Ще трябва да извършваш аритметични операции с многочлени от по-висока степен и да разлагаш многочлени, за да опростиш дробния израз.

[Искам да видя пример за това с рационални изрази]

Цялата тази допълнителна работа може да се избегне, ако използваш най-малкия общ знаменател при събирането и изваждането на рационални изрази.