Анализиране на вертикалните асимптоти на рационални функции

Условието е: "Опиши поведението на функцията q около вертикалната ѝ асимптота при х= -3" Както винаги, ако това ти е познато, окуражавам те да спреш видеото и да видиш дали можеш малко да се упражниш, а ако не ти е познато, ще реша това с теб. Добре, това е q(х), то е зададено чрез рационален израз и когато имам работа с асимптоти, предпочитам да разделя числителите и знаменателите на едночлени, за да ми изглеждат нещата по-логични. Числителят тук, кои две числа, ако... Тяхното произведение е 2 и сборът им е 3, това са 2 и 1, така че мога да разложа това на (х +1) по (х + 2), ако това не ти е познато, препоръчвам да гледаш видеата в Кан Академия за разлагане на точни квадрати. Върху х + 3, и когато х = -1 или х = -2, това ще направи числителя равен на 0, без да направи знаменателя равен на 0, така че тези са точките, при които функцията е равна на 0, но когато х = -3, знаменателят е равен на 0, докато числителят не е равен на 0, така че делим на 0, а това е доста ясен знак за вертикална асимптота – че графиката на функцията ни, когато доближаваме тази стойност, или ще тръгне нагоре като това, или ще тръгне внезапно надолу ето така, или може да тръгне нагоре ето така, или може да тръгне надолу като това, но ще имаме вертикална асимптота. Когато х = -3, графиката на функцията ще клони или към плюс безкрайност, или към минус безкрайност, или може да тръгне към плюс безкрайност от една посока, или минус безкрайност от друга посока и ако тази идея за посоките е малко объркваща, това ще обсъждаме в това видео. Нека начертая една числова ос, която се фокусира на тези интересни стойности. Интересува ни х = -3 и после другите интересни стойности може да са -2, -1, всичко е тук. Какво означава х да клони към -3 от отрицателна посока? За да изясним, този знак горе ето тук, той означава, че доближаваме от отрицателна посока. Това означава, че доближаваме от стойности по-отрицателни от -3, така че това са тези стойности ето тук. Доближаваме от тази посока. Друг начин да помислим за това е, че доближаваме от отрицателна посока, при х по-малко от -3, така че нека помислим за това какъв ще е знакът на q(х), когато доближаваме -3 от тази отрицателна посока, отляво. Ако имаш нещо по-малко от -3 и добавиш 1, това ще е отрицателно. Ако имаш нещо по-малко от -3 и добавиш 2, това също ще е отрицателно. Ако имаш нещо по-малко от -3 и добавиш 3, това също ще е отрицателно. Отрицателно по отрицателно е положително, но после делиш на отрицателно, така че това ще е отрицателно. Тоест q(х) ще е отрицателно в този интервал. Докато доближаваме, имаме вертикална асимптота. Докато доближаваме -3 от лявата страна, q(х) ще е отрицателна и ще доближава минус безкрайност. Когато х клони към -3 от отрицателна посока, q(х) ще клони към минус безкрайност. Това е вярно, това тук също е вярно, и можеш да удостовериш това, като изпробваш някои стойности. Опитай с отрицателна, да видим, ако опиташ с -3,... q от -3,1 това е от лявата страна, може да е някъде тук. Всъщност вероятно ще е малко по-надалеч. Може да е нещо такова, като мащаба, на който го начертах. q(-3,1), ако искаш да удостовериш това, това ще е -3,1 плюс 1 – което е -2,1 – по -3,1 плюс 2, което е -1,1. Мога да поставя това в скоби, за да поясня, и после всичко това ще е върху... -3,1 плюс 3 ще е - 0,1. Забележи, че каквото получаваме тук горе, това е положителна стойност, ако я делим на -0,1, това е като да я умножаваме по -10. Така че това ще стане много отрицателна стойност, ако вместо да е -3,1... представи си, че беше -3,01, това тук щеше да е 01. Това тук щеше да е 01 и това тук щеше да е 01. Така че този знаменател, ако делиш на -0,01, той ще е още по-отрицателна стойност, така че ще доближаваш минус безкрайност. Това ще е една от тези двете подточки. Нека помислим какво се случва, когато доближаваме х от положителна посока, това означава това обозначение тук, този малък знак отгоре в дясната страна, положителната посока. Така че ще доближаваме х от положителна посока, като в частност ще обърна внимание на интервала между -2 и -3, понеже тогава знаем, че нямаме никакви странни промени на знака в числителя. Интересува ме интервала -3 < х < -2. Мога да направя отворен интервал тук, да кажем, че не взимаме предвид кога сме в -2, и разбира се няма да включим -3, понеже функцията ни не е дефинирана там, но в този интервал – тоест х + 1 все още ще е отрицателно. Ако вземеш -2,5 + 1, това ще е -1,5. х + 2 все още ще е отрицателно – взимаш стойности, които са по-отрицателни от -2, които са по-малки от -2; добавяш 2 към това и все още ще е отрицателно. После, да видим, ако добавиш 3, ако добавиш 3 към тези стойности, помни, те са по-големи от -3, или можеш да кажеш, че са по-малко отрицателни от -3, тогава това ще ти даде положителна стойност. Това ще ти даде положителна стойност. Помисли за това на колко ще е равно q от -2,99? Ако добавиш 1, това е -1,99. Ако добавиш 2, по - 0,99. Всичко това върху -2,99 + 3, това ще е 0,01. Тоест ще получиш положителна стойност отгоре и после ще разделиш на 0,01. Това е същото като да умножиш по 100, така че ще получаваш по-големи и по-големи стойности. Ще доближаваш безкрайност, докато се доближаваш по-близо и по-близо до това от дясната страна. Тоест q(х) ще клони към плюс безкрайност. Това е подточката, която е вярна. Тази е грешна, това казва, че ще клони към минус безкрайност, така че това е грешно и ще изберем тази подточка.