Крайно поведение на рационални функции

Дадена ни е тази функция f(х) и тя е равна на този рационален израз тук и ни питат: "Към какво клони f(х), когато х клони към минус безкрайност?" Когато х става все по-отрицателно, към какво клони функцията f(х)? Както винаги, спри видеото и виж дали можеш да решиш това самостоятелно. Едно нещо, което предпочитам да правя, когато опитвам да разбера поведението на една функция, когато х става много положително или много отрицателно, е да я преобразувам. f(х)... просто ще я препиша веднъж, е равна на 7х^3 - 2х върху (15 х - 5). Една интересна техника е да помислим какво се случва с различните членове, когато х става много положително или когато х става много отрицателно, е да разделим и числителя, и знаменателя на члена от най-висока степен (за х) в знаменателя. И членът от най-висока степен за х в знаменателя е членът от първа степен. Имаме само едно х тук. Нека умножим и числителя, и знаменателя по 1/х, или друг начин да мислим за това е, че делим и числителя, и знаменателя на х. И ако правим едно и също нещо и с числителя и със знаменателя – ако ги умножаваме или делим на една и съща стойност, тогава всъщност просто умножавам цялото нещо по 1. Не променям стойността. Това ще направи нещата малко по-интересни и ще ни е малко по-лесно да помислим какво се случва, когато х става много, много, много отрицателно. 7x^2, делено на х или умножено по 1/х, ще е равно на 7х. 2х по 1/х или 2х, делено на х, е просто 2. И после всичко това върху 15х, делено на х, или 15х върху х, просто ще е 15. И после имаш 5/х. 5 по 1/х е равно на 5/х. Минус 5/х. За нашите цели това е равностойно на израза, с който започнахме, но ни улеснява да помислим какво се случва, когато х става много, много, много, много отрицателно. Когато х става много, много, много, много, много, много отрицателно, това ще стане много голямо отрицателно число. Изваждаш 2 от него, но това няма голямо значение. Делиш това на 15 – това също няма да има чак такова значение. И това ще стане много, много, много, много малко. Взимаш 5 и делиш на все по-големи отрицателни числа или все по-отрицателни и все по-отрицателни числа. Това тук ще клони към 0. Това тук ще клони към безкрайност. Или трябва да кажа, че ще клони към минус безкрайност. Например 7 по минус милиард или 7 по минус гугол, 7 по минус гуголплекс, получаваме все по-отрицателни и все по-отрицателни числа, така че това ще клони към минус безкрайност. Няма значение, че изваждаш 2 от това. Всъщност това дори ще ни даде още по-отрицателни стойности. И няма значение, че след това делиш на 15, все пак доближаваш минус безкрайност. Ако имаш произволно отрицателно число, делиш го на 15 и все още имаш произволно отрицателно число. Така че можеш да кажеш, че това ще клони към минус безкрайност. Друг начин, по който можем да помислим за това... Аз размишлявам за това по този начин, когато опитвам да... когато видя такъв вид задачи. Питам се: "Кои членове в числителя и знаменателя ще доминират?" И какво имам предвид под "доминират"? Когато х става много положително или много отрицателно, друг начин да помислим за това е, че магнитудът на х става голям, абсолютната стойност на х става голяма. Членовете от по-висока степен ще нараснат много по-бързо от членовете от по-ниска степен. Така че можем да кажем, че за голяма стойност на х, и когато кажа "голяма", имам предвид висока абсолютна стойност. Висока абсолютна стойност. И ако ще продължаваме към минус безкрайност, това е висока абсолютна стойност. Така че f(х) ще е приблизително равна на – членът от най-висока степен отгоре, който е 7х^2, разделен на члена от най-висока степен отдолу. 15х ще нарасне – всъщност това е ето тук, тази константа. Когсто това става по-голямо и по-голямо, и по-голямо, това ще има много по-малко значение. Така че то ще е приблизително това. Което е равно на 7х/15. Дори тук, ако помислиш какво се случва, когато х става много, много отрицателно – просто ще стане по-голямо, ще имаш все по-отрицателни и по-отрицателни, и по-отрицателни стойности на f(х). Отново, самата f(х) ще доближи... ще доближава минус безкрайност, когато х доближава минус безкрайност. Нека направим още един пример. Тук ни казват: "Намери хоризонталната асимптота на q." Хоризонтална асимптота – можем да помислим за това като към какво клони функцията, когато х клони към безкрайност или когато х клони към минус безкрайност. И няколко примера. Това не е задължително q(х), върху което сме се фокусирали. Но можеш да си представиш една функция, да кажем, че има хоризонтална асимптота при у = 2, така че това тук е у = 2. Нека начертая тази права. Да кажем, че има такава хоризонтална асимптота. Тогава графиката може да изглежда ето така. Ще изглежда – нека начертая две такива, които имат хоризонтални асимптоти. Може би е ето тук, но когато х става много голямо, тя започва да клони към – графиката на функцията започва да клони към това у = 2, без никога да го достига. И може да направи същото и от тази страна. Когато х става по-отрицателно и по-отрицателно. Когато става все по-отрицателно, графиката отново клони към у = 2, без да го достига. Или може да направи нещо подобно. Ако това има вертикална асимптота, тогава може да изглежда подобно на това, където доближава хоризонталната асимптота отдолу, когато х става по-отрицателно, и отгоре, когато х става по-положително. Или обратно. Или обратно. Това беше просто за да ти покажа какво представлява хоризонталната асимптота. Тя ще ти покаже какво е поведението, каква стойност доближава графиката на тази функция, когато х става много положително или когато х става много отрицателно. Нека помислим върху това. Можем на направим това, което току-що направихме в последния пример. Какво се случва, ако разделим всички тези членове на члена от най-висока степен в знаменателя? Ако разделим, тоест q(х) ще е равна на – членът в знаменателя от най-голяма степен е х^9 – тоест можем да кажем, че 6х^5, делено на х^9, ще е 6/(х^4). И после минус 2/(х^9). И всичко това върху 3 върху... ще разделя това на х^9, х^7, плюс 1. Ако х клони към плюс или минус безкрайност, 6, делено на произволно големи числа, това ще клони към 0. 2, делено на произволно големи числа, без значение дали са положителни или отрицателни, това ще клони към 0. Така че числителят определено ще клони към 0. Този член в знаменателя – 3, делено на произволно големи числа, без значение дали вървим в положителна или в отрицателна посока, това ще клони към 0. Ще клони към 0 от отрицателна посока, или, можем да кажем, отдолу, ако имаме работа с много отрицателни стойности на х. Ако си имаме работа с много положителни стойности на х, тогава ще доближим 0 отгоре. Ще получим все по-малки и все по-малки положителни стойности. Всички тези неща клонят към 0 и това тук ще остане при 1. Ако доближаваш 0 в числителя и доближаваш 1 в знаменателя, цялото това нещо ще клони към 0. В случая на q(х) имаш хоризонтална асимптота при у = 0. Не знам точно как изглежда графиката, но можем да начертаем хоризонтална права при у = 0 и това ще я доближава. Ще я доближава отгоре или отдолу. Нека направим още един пример. "Към какво клони f(х), когато х клони към минус безкрайност?" Нека разделим всички тези членове на члена от най-висока степен в знаменателя. Виждаме х^4. 3x^4, делено на х^4, е 3, минус 7/х^2 – просто деля това на х^4, минус 1/х^4, върху – х^4, делено на х^4 ,е 1, минус 2/х плюс 3/х^4. Това е равносилно на – за нашите цели, това ще ни свърши работа, за да помислим за крайното поведение, когато х клони към минус безкрайност. Просто разделих всичко на х^4. И какво ще стане, когато х клони към минус безкрайност? Това ще клони към 0. Това ще клони към 0. Това ще клони към 0. И това ще клони към 0. Така че, тъй като всичко това клони към 0, това ще клони към 3/1 или просто можем да кажем 3. Друг начин да помислиш за тези е да разгледаш членовете от най-висока степен. 3х^4, х^4. Игнорирай всичко друго, понеже то ще бъде надвито от членовете от по-висока степен. Можеш да кажеш, че f(х) е приблизително равно на (3х^4)/(х^4) за голям магнитуд на х. И много отрицателната абсолютна стойност е много голям магнитуд, голяма абсолютна стойност. 3х^4, делено на x^4 – f(х) ще е приблизително равно на 3. Или ще клони към 3. Това е друг начин да мислиш за това.