Графики на рационални функции 2

Нека решим още няколко примерни задачи с графики на рационални функции. Да кажем, че имам y = 2х/(x + 1). Първо, нека открием хоризонталните асимптоти, ако има такива. Както казах преди, само трябва да видим коя е най-високата степен в числителя и знаменателя. Ами, имаме единствено 2x тук и x тук – и двете са от първа степен. Значи когато x клони към безкрайност, или когато приема изключително високи стойности, тези два члена ще доминират. Това няма да е от голямо значение. Тогава y ще бъде равно приблизително на 2х/х или просто на 2. Всъщност същото е вярно и ако x клони към минус безкрайност. Тоест когато x става изключително голямо или малко, това ще клони към 2. Този член няма да има голямо значение. Нека начертаем тази хоризонтална асимптота. Значи това е y = 2. Да направим графиката. Ето я хоризонталната ни асимптота. y = 2, нека напиша това. Хоризонтална асимптота. Ето какво доближава графиката ни, но никога не достига, когато взимаме все по-положителни или все по-отрицателни стойности на x. Сега, имаме ли вертикални асимптоти? Да, разбира се. Когато x = -1, функцията е неопределена. Тоест казваме, че y е неопределено, когато x = -1. Това със сигурност е истина, защото когато x = -1, знаменателят става 0. Не знаем какво е 1, делено на 0. Това е неопределена стойност. И това е вертикална асимптота, защото (x + 1) не се съкращава с нищо друго. Нека ти дам бърз пример. Да кажем, че имам уравнението y е равно на (x + 1) върху (x + 1). Тук може би ще кажеш,че когато x = -1, графиката ми е неопределена. И ще е вярно, защото ако сложим -1 тук, тук долу ще имаме 0. Всъщност и горе ще получим 0. Ще имаме 0 върху 0. Това е неопределено. Но както виждаме, ако допуснем, че x не е равно на -1 или че тези членове не са 0, можем да разделим числителя и знаменателя на (х + 1). Или можем да кажем, че това върху това (тоест върху себе си) ще бъде равно на 1. Може да кажеш, че това ще е равно на 1, когато х не е равно на -1 или когато тези членове не са 0. Когато x = -1, ще имаме 0 върху 0, което не знаем какво е. Така че в тази ситуация не бихме имали вертикална асимптота. Ето тази графика няма вертикална асимптота. Всъщност може би се чудиш как би изглеждала графиката на това? Ще я начертая. Ако трябваше да начертая графиката на това тук, y щеше да е равно на 1 за всички стойности, освен за х = -1. Ето графиката в тази ситуация – y = 1 навсякъде, освен при х = -1. Тогава е неопределено. Значи тук трябва да имаме дупка. Тук чертаем малък вдлъбнат кръг, защото не знаем какво ще ни е y, когато х = -1. Би изглеждало като нещо такова. Като хоризонтална права. Нямаме вертикална асимптота. Това е защото този и този член се съкращават, когато не са равни на 0 или когато x не е -1. Нека изясня, че когато търсим вертикални асимптоти, трябва да сме сигурни, че този израз тук не се съкращава с нещо от числителя. И в този случай не се съкращава. А в този случай се съкращава, така че нямаме вертикална асимптота. В този случай, понеже не се съкращава, имаме вертикална асимптoта. x = -1 е вертикална асимптота за тази графика. Значи х = -1; нека начертая вертикалната асимптота – ще изглежда така. И сега, за да видим какво прави графиката, можем да направим опит с няколко стойности. Какво става, когато x = 0? Когато x = 0, имаме 2 по 0, което е 0, върху (0 + 1). Което е 0 върху 1, което е 0. Точката (0; 0) е на нашата крива. Какво става, когато x = 1? Имаме 2 по 1, което е 2 върху (1 + 1). Или 2 върху 2, което е 1. Тоест (1; 1) е също на нашата графика. Това е на нашата графика. Можем да продължим да нанасяме точки, но знаем, че кривата ще изглежда като нещо такова. Изглежда, че клони към минус безкрайност, когато доближава вертикалната асимптота отдясно. Така че в тази посока клони към минус безкрайност. И после ще доближава хоризонталната ни асимптота от отрицателната посока. Ще изглежда ето така. И сега, нека направя това в по-тъмен цвят, например в червено. Какво ще стане, когато x = -2 ? Имаме -2 по 2, което е -4. Имаме -4 върху (-2 + 1) или върху -1, което е просто 4. Тоест имаме (-2; 4). (-2; 4). (-2; 4) е върху графиката. Нека направим още една точка. Да опитаме с -3. За точката -3 ще получим 2 по -3 е -6, върху (-3 + 1), което е -2. -6 върху -2 е +3. Търсим точка (-3; 3). 1, 2, 3. 1, 2, 3. Ето това тук. Графиката ще изглежда като нещо такова. Когато х клони към минус безкрайност, графиката ни ще приближава хоризонталната асимптота отгоре. Когато х клони към -1, функцията ще клони към плюс безкрайност. Нека още веднъж се уверим, че това наистина е графиката на функцията ни. Нека си извадим калкулатора за графики на функции. Ще определим y като 2х/(х + 1) е равно на (трием всичко това и искаме да начертаем това)... Ето. Изглежда точно като нашaтa графикa. И тази вертикална асимптота – калкулаторът свърза точките, но ние знаем, че тук функцията ни е неопределена. Калкулаторът просто се е опитал да свърже изключително положителните стойности до долу. Това, което калкулаторът прави, е да създаде подробен набор от стойности и просто да свърже всички точки. Той не знае, че това е асимптота, така че се е опитал да съедини точките. Но те не трябва да са свързани. Надявам се, че този пример ти е бил полезен.