If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:21:06

Видео транскрипция

В това видео ще опитаме да направим графика на рационална функция. Рационална функция е просто функция, която има изрази в числителя и знаменателя. Има многочлен в числителя. Да видим, имаме x^2, и още един многочлен в знаменателя, x^2 – 16. Ясно е, че можем да направим графиката, като просто намерим няколко точки и ги съединим. Това би направил специалният калкулатор за графики. Но ние искаме, преди да опитаме с конкретни точки, първо да разберем основната структура на тази графика. Искаме да разберем, какво ще стане, когато x стане много, много голямо число, или пък много малко, отрицателно число. Ако погледнем по друг начин, искам да разбера какво се случва когато големината на x или абсолютната стойност на х стане наистина голяма и наближи безкрайността. Когато големината на x наближи безкрайността. С други думи, когато отидем много надалеч в положителна или в отрицателна посока, какво ще се случи със стойността на тази функция ? Нека да извадим калкулатора. Още няма да използнам графиките му, само ще изпробвам някои стойности. Какво става, когато x е равно на 10 ? Ще бъде същото като, когато x е –10, защото, като вдигнем на квадрат –10, ще получим 100, точно както с 10. По същия начин, –10 на квадрат ще ни даде същото като плюс 10. Така че няма значение дали се движим в силно положителна или силно отрицателна посока, дали се доближаваме до положителната или отрицателната безкрайност, достигаме едно и също нещо, защото повдигаме стойностите на квадрат. Нека видим някои конкретни стойности. Ако взема 10 на квадрат върху 10 на квадрат минус 16, получавам 1,19. Ами ако x а малко по-голямо ? Видяхме с 10. Ами какво ще стане когато x е 100 ? Имаме 100 на квадрат минус 16. Приближавам се все повече до 1. Когато x беше 10, y беше 1,19. Когато x е 100, 100 на квадрат минус 100 на квадрат минус 16 ни дава y = 1,0016. Хайде сега да опитаме с 1000, само за да видим. 1000 на квадрат делено на 1000 на квадрат минус 16. Приближаваме се още повече до 1. Значи, докато x се увеличава, y се приближава все повече до 1. Това би било вярно и с –10, защото –10 на квадрат върху –10 на квадрат минус 16 ще даде съвсем същия отговор. Защото отрицателните числа стават положителни, когато ги вдигнем на квадрат. Тук ще получим същото, като при 10 на квадрат. Без значение дали x става много голямо или много малко, ще се приближаваме до y = 1. Ако искаш, можеш да опиташ и с 1 милион и ще получиш число, което е още по-близко до 1. Така че, когато стойността на x се приближава до безкрайността, абсолютната стойност на x или разстоянието от координатното начало се доближава до безкрайността, тогава y се доближава до 1. Или можеш да си го представиш по друг начин – графиката на функцията ще се доближава до правата y = 1. Нека начертая правата y = 1. Ще направя прекъсната линия, защото това не е графиката на функцията ни, а права, до която функцията се доближава. Ето това е графиката на y = 1. Тук имаме идеята за функция или графика на функция, която се доближава до дадена права, но никога не я достига. Графиката ще се приближава все повече до тази права, до y = 1 в тази посока, но никога няма да я достигне. Разстоянието до това y = 1 ще клони към 0, но никога няма да стигне дотам. Тази права, до която графиката се приближава, се нарича асимптота. Това ще ти стане още по-ясно, когато начертая самата графика на функцията. Ще работим тук горе. И тъй като правата е хоризонтална, ще я наричаме хоризонтална асимптота До нея се приближава графиката, когато отиваме надалеч в положителната или отрицателната посока. Нека видим и други интересни факти за ето тази функция. Може да ти направи впечатление, че това е разлика от квадрати. Това е x^2 минус 4 на квадрат. Значи можем да представим това като x^2 върху (x + 4) по (х – 4). Какво ще се случва тук, докато x се приближава до плюс или минус 4 ? Първо опитай със следните стойности. Ако x е равно на 4, какво ще стане ? Този израз тук ще е равен на 0. Ще делим на 0. Но това не е възможно! По същия начин, ако x е минус 4, ще имаме деление на 0. Този израз тук ще е равен на 0. Пак не можем да направим това. Можем да заключим, че функцията е неопределена при x равно на плюс или минус 4. x не може да приеме тези стойности, защото при двата случая ще имаме деление на 0. Какво ще стане, когато x се доближава до тези стойности? Какво става, когато x се доближава до –4? Нека опитаме, просто така. Какво става, когато x се доближава до –4? Да кажем, че се доближава от отрицателната посока. Да видим какво ще каже калкулаторът. Да кажем, че идваме от отрицателната посока. Да започнем с –4,1. Ако имаме минус 4,1 на квадрат, делено на –4,1 на квадрат, минус 16, какво ще получим ? Получаваме 20,75 Значи, получаваме това число. Я да видим както ще стане, ако се приближим още повече до минус 4. Приближаваме се още повече до –4. Нека вместо 4,1 имаме 4,01. Тук слагам 4,01 и да видим какво ще стане. Сега стана 200, значи стойностите са увеличават. Сега нека опитаме с 4,001. и пак да видим какво ще стане. Опа, не това се опитвах да направя. Исках да направя това. Така, да опитаме. Нещо не ми се получава. Да видим. Значи, вместо предишното 4,01 искам да опитам с 4,001 и ето тук, с минус 4,001. И какво се получава ? Получава се 2000. Колкото повече се приближаваме до –4 от отрицателна посока, достигаме до все по-големи (даже огромни) числа. Опитай ако искаш с 4,0000001, ще достигаме все по-големи и по-големи часла. Може би ще се получи нещо като 20 000. И после, можем да сложим още една нула тук и т.н. Колкото по-близо отиваме, толкова по-големи числа ни се получават. Можем да кажем, че когато x се приближава до минус 4, y се приближава до безкрайност. Приема все по-висока стойност. Но никога не можем да достигнем самото x = 4. То е неопределено. Би направило знаменателя ни тук 0. Виждаме, че x никога не е равно точно на –4. Нека видим, x е равно на 1, 2, 3, 4. Никога не можем да достигнем точно до x = –4. Нека начертая x = –4 като прекъсната линия, ето тук. Това ни е x равно на –4. Никога не можем да достигнем тази линия, но като се доближаваме до нея от отрицателната страна – като имаме 4,1, после 4,01, и т.н., достигаме все по-големи стойности. Знаем и че когато се движим наляво и достигаме до все по-високи стойности на x, y се доближава до 1. Имаш обща идея за това как ще изглежда тази част от графиката. Таки част от графиката ще изглежда ето така. Когато x достига все по-отрицателни стойности, у е все по-близо до 1, и когато x се приближава до –4 от отрицателната посока, у се приближава все повече до безкрайност. y става все по-голямо и по-голямо, да го кажем простичко. Когато x е –4, точно като при x = 4, точката на графиката ще е неопределена. Нека начертая това тук. 1, 2, 3, 4 Ето тук x е равно на 4. И още веднъж, какво се случва, когато се доближаваме до x = 4, да кажем в положителната посока ? Какво се случва, когато x се доближава до 4 от положителната страна ? Това е като да опитаме с x = 4,01 или на 4,001 или на 4,0001 ... Значи, просто се приближаваме до x равно на 4. Това са същите стойности, които изчислихме на калкулатора, само че с обратен знак, нали така ? И всъщност забелязахме, че с тази функция, отрицателните числа се повдигат на квадрат, така че без значение дали ще вземем положителни или отрицателни числа, отговорът ще е все същият. Тази графика е симетрична. Да имаме x = –5 е същото, като да имаме x = 5. x = –10 е същото като при x = 10. Ще достигнем до същия отговор. Ако искаш, можеш да изпробваш това с калкулатора си. Ако изпробваш тези стойности, ще видиш, че когато се доближаваме до 4, достигаме все по-големи числа. Същите числа като тези тук. Ето я графиката – като се доближаваме до 4, достигаме все по-високи стойности на у. И тук, когато x се увеличава, както видяхме, имаме тези хоризонтални асимптоти и y се приближава до 1. И както нарекохме това хоризонтална асимптота, тези стойности – дори можеш да видиш съответните вертикални прави: x = –4 и x = 4 – наричаме това вертикални асимптоти. Пак ще повторя, че тези асимптоти са прави, до които графиката на функцията се доближава, но никога не достига. Ето какво се случва тук. Можем и да си помислим за това какво се случва с графиката на функцията тук вътре. Има няколко начина да си представиш това. Можеш да си кажеш: Какво става, когато x се приближава към 4 от отрицателната посока ? Нека опитаме това, от отрицателната посока. Какво става, ако вземем 3,9 на квадрат делено на 3,9 на квадрат минус 16 ? Получаваме минус 19,25. Какво става ако вземем 3,99 ? Нека сложа още едно '9', за да стане още по-близо до 4, този път приближаваме 4 от лявата страна. Слагаме още едно 9 тук. И имаме още по-отрицателно число. Нека направим още само един опит. С число, още по-близко от предишното. Нека бъде 3,999. Още по-близо до 4. Става все по-отрицателно. Същото би се получило и с минус 3,9. –3,99 или –3,999, защото когато повдигнем на квадрат, положителните и отрицателните стойности дават един и същ резултат. Минус 1 на квадрат е плюс 1. Когато се доближаваме до 4 (взимаме 3,9, 3,99) получаваме получаваме все по-отрицателни числа. Клоним към минус безкрайност. Нека начертая това ето тук. Само да не докоснем асимптотата. Когато се приближаваме от тази посока, стойностите ни стават все по-малки и графиката е нещо такова. Когато се приближаваме отляво, получаваме все по-малки числа. Същото ще се случи, когато се приближаваме до –4 отдясно, нали така ? Когато имаме 3,9, 3,99, 3,999, стойностите ни спадат. Графиката ще изглежда ето така. И сага, когато имаме идея за това как изглежда графиката, вече е подходящо да сложим няколко конкретни точки. Най-лесното е – какво имаме, когато x е равно на 0 ? Имаме 0 на квадрат върху 0 минус 16. Когато x е равно на 0, ще имаме 0 върху минус 16, което е 0. Значи, точката (0; 0) лежи на кривата. Можем да опитаме и с други стонйности, но общата форма на графиката ни ще е ето такава. Можеш да добавиш и още точки, ако те интересува точно какво ще прави кривата между тези точки, но вече имаме общата структура. Освен това намерихме доста стойности с помощта на калкулатора. Направих всичко това, защото ми се искаше да ти обясня точно защо стойностите стават все по-ниски. И като се замислиш, всичко това е логично. Когато се приближаваме, да речем до 4, и от двете посоки, това ще ни дава все по-малко число, защото това е разликата между x и 4. Значи, това става все по-малко число. После взимаме 1 върху това, нали ? Можем да видим това като x на квадрат върху x + 4 или по 1 върху x – 4. Ако това ни става все по-малко, цялaта тази стойност върху много малко число е много голямо число. Така че, както можеш да си представиш, стойностите ще се увеличават и в зависимост от това дали се приближават от положителна или отрицателна посока, тоест в зависимост дали това е много малко отрицателно или много малко положително число, това ще ни обърне знака. Но и по двата начина достигаме до много голяма абсолютна стойност в отрицателна посока, защото разликата между x и 4 от тази страна е отрицателна, нали така ? 3,9 минус 4 е –0,1. Нека вземем обратното на това, което е 10. Значи тук получаваме отрицателни числа. Когато вземем обратното, ще получим много големи отрицателни числа. Искам да схванеш логиката. Обикновено начинът да чертаеш такъв тип графики е като първо намериш хоризонталните асимптоти. Какво става, когато стойността на x е много голяма, значи при много положителни или много отрицателни стойности? Можеш да опиташ с калкулатор, ако желаеш. Буквално ще достигнеш отговор, ако изпробваш милион или милиард стойности. Но можеш и да разглеждаш това по следния начин – когато x става много голямо, тези стойности растат много по-бързо – този член е просто константа и повече не е от значение. Ако това е един милион и това е един милион, кой се интересува от това 16 ? Когато x е с много голяма стойност, y е приблизително x на квадрат върху x на квадрат. Тези два члена са от значение. Повече няма нужда да мислиш за това 16. И това ни е равно на 1 – точно като когато използвахме много големи числа. При подобни задачи, където имаш еднакъв коефициент при еднаква степен в числителя и знаменателя, разглеждай коефициента на тези членове. В дадения случай коефициентите ни са 1 и 1. Значи хоризонталната ни асимптота ще е 1 делено на 1, или y равно на 1. Ако това беше 2x^2 върху (x^2 –16), асимптота ни щеше да е y = 2. Щяхме да се приближаваме до тази права тук горе. А ако имахме –2, хоризонталната ни асимптота щеше да е y = –2. Ето как намираме хоризонталните асимптоти, когато имаме еднаква степен в числителя и в знаменателя. Ако знаменателят е с по-голяма степен, той ще расте по-бързo от числителя и асимптотата ще бъде 0. По-късно ще ти покажа такъв пример. И, логично, ако числителят е с по-висока степен от знаменателя, той ще се увеличава много по-бързо от знаменателя и няма да имаме никакви асимптoти. Стойността просто ще расте или пък ще става все по-отрицателна. Такъв е случаят с всички многочлени, които сме виждали. Можем да ги представим и като върху 1 В този случай нямаме хоризонтална асимптота. А вертикалните асимптоти намираме, като просто разлагаме знаменателя и намираме кога би бил равен на 0. Това са точките, в които графиката е неопределена. Ще ти покажа по-късно, че има специални случаи, в които нямаме вертикални асимптоти. Но няма да те обърквам с това засега Ще видим тези специални случаи в някой друг клип. В общи линии, ако разложим членовете на знаменателя и те не се съкратят с нищо от числителя, значи имаме работа с вертикална асимптота. Ако имах x – 4 тук горе, ако числителят ми беше x^2 по (x – 4), това щеше да се съкрати и изразът щеше да се опрости ето така. Но изразът щеше да остане неопределен за 4 равно на 4, защото щяхме да имаме 0 в знаменателя. Но тъй като (x – 4) се съкращава с (x – 4) в числителя, щяхме да имаме вертикална асимптота Ще се върнем към това някой друг път. Но не това ни беше yравнението. Така че основното правило за определяне на вертикални асимптoти е: разлагаме знаменателя, откриваме кога е 0, и ако никой член не се съкрати с никой член от числителя, то тези стойности са ни вертикални асимптоти. И за да открием поведението на стойности в асимптотите, можем да опитаме с някои точки. Можем да вземем дадени стойности на x и да намерим какъв ще е y. За да сме сигурни, че отговорът ни е правилен, нека направим графиката на рационалната ни функция. Нека я начертая. y = x^2 делено на x^2 – 16. Да видим какво ще се получи. Няма ми множеството от стойностите на функцията. Нека запиша множеството от стойностите на функцията. Минималната стойност за x, да кажем, че е –10. А максималната стойност, която искам, е x =10. Мащаб на x – 1. Искам минимална стойност на у да е –10, а максимална стойност на y нека е 10. Мащабът на y искам да е 1. Нека начертая това. Ето. Виж това. Точно като нашия чертеж. Имаме асимптота – когато x става много голямо или много малко, тази асимптота е y = 1. Имаме вертикална асимптота. Калкулаторът я включва, защото просто свързва точките, но асимптотата всъщност не би била част от графиката. Когато се приближаваме до 4 от 0, можем да кажем, че сме 'супер' отрицателни. Когато достигаме –4 от 0, също ставаме супер отрицателни. Защото и в двете ситуации, когато се приближаваме до 4 от тази страна, този член ще ни бъде отрицателен. Когато се приближаваме до –4 от тази страна, този член тук ще ни е положителен, но пък този ще е отрицателен. Отрицателно по положително винаги дава отрицателно число. И в двата случая се движим към отрицателна безкрайност. И когато x се приближава до безкрайност, това тук гони асимптотата. Надявам се, че всичко това ти беше интересно.