Графики на рационални функции (стар пример)

Тук имаме графиките на три функции. Графиката на функцията f е в пурпурно. Графиката на функцията g е в зелено. И графиката на функцията h е в този пунктиран лилав цвят. После имаме три потенциални израза или три израза, които могат потенциално да представят f, g и h. В това видео искам да опитам да ги свържа, да опитам да свържа функцията с израза, който я задава. Окуражавам те да спреш видеото на пауза и да опиташ да помислиш върху това самостоятелно, преди аз да го реша. Има два начина, по които можем да подходим към това. Първо, можем да помислим за това как изглеждат графиките на всяка от тези функции и после да помислим кои от тези графики ще изглеждат така. Или можем да погледнем графиките и да помислим за вертикалните и хоризонталните им асимптоти, и да помислим кой от тези изрази ще има вертикални и хоризонтални асимптоти при тези точки. Ще го направя по втория начин. Нека разгледаме графиките. Предпочитам да работя по-нагледно или да гледам графиките. Това изглежда – ще започна с f. f изглежда има вертикална асимптота при х, равно на 5. Извинявай, при, х равно на -5. Имаме вертикална асимптота ето тук, при х, равно на -5. Нека помислим кой от тези изрази ще има вертикална асимптота при х, равно на -5. За да има вертикална асимптота, изразът не може да е определен там. Това е първият начин, по който мога да помисля върху това. И после, дори и да не е деиниран там, трябва да се уверим, че това наистина е вертикална асимптота, а не просто дупка в тази точка, не е просто точка на прекъсване. Нека помислим върху това. Първият израз е дефиниран при х, равно на -5. Единствената причина да не е дефиниран е ако някак имахме 0 в знаменателя. Но ако имаш -5 минус 5, това е -10. Така че този израз е дефиниран при тази точка и това не е f. Този също е дефиниран при, х равно на -5. Знаменателят не става 0, така че това не е f. Това, когато х е равно на -5, знаменателят става 0. Използвах дедуктивно разсъждение, това изглежда най-добрият ни кандидат за f(х). Но нека потвърдим, че това съвпада с другите неща, които виждаме тук. Нека погледнем хоризонталната асимптота на f. Ако погледна графиката, изглежда тук има хоризонтална асимптота. Особено когато х достига по-големи и по-големи стойности, изглежда f(х) клони към 1. f(х) клони към 1. Това тук същото ли е? Когато х става по-голямо и по-голямо, и по-голямо, когато х клони към плюс безкрайност, тогава -2 и +5 нямат значение. Когато х клони към безкрайност, това ще е приблизително, за много големи стойности на х, това ще е х върху х. Гледаме членовете от най-висока степен и това ще доближи 1, когато х става много, много, много голямо. Изваждаме 2 в числителя и добавяме 5 в знаменателя, и това ще има по-малко и по-малко значение, понеже х става толкова голямо. Така че това ще доближи 1. Това изглежда съвместимо от тази гледна точка. Да видим, има ли друго интересно? Кога това е равно на 0? Числителят е равен на 0, когато х е равно на 2. Виждаме, че това е така за f ето тук. Така че съм сигурен, че това е нашето f(х). Нека разгледаме g(х). g(х) има... и се опитват да ни подхлъзнат, понеже това изглежда като, че и h(х), и g(х) имат вертикална асимптота при, х равно на 5. Вертикалната асимптота не е това, което ще ни помогне да изберем между g и h. Да не би да казах g и f? И g, и h имат вертикална асимптота при х, равно на 5. И виждаш това ето тук. При х, равно на 5, и двете не са дефинирани. Когато х е равно на 5, знаменателите и на двете са 0. Да видим дали хоризонталните асимптоти могат да ни помогнат. Изглежда g има хоризонтална асимптота при у, равно на -2. у = -2. Ако х стане много положително или много отрицателно, изглежда у клони към -2. Какво се случва тук за това горе? Ако умножим това в скобите, това е равно на (2х - 12) върху (х - 5). За много големи стойности на х, -12 и -5 няма да имат толкова голямо значение. За много големи стойности на х това ще е приблизително 2х/х. Нека поясня или може би ще запиша "когато х клони към плюс безкрайност". И 2х/х ще е 2, това ще е приблизително равно на 2, когато х клони към плюс безкрайност. асимптотата на g не е при 2, а е при -2. Асимптотата на h е тази, която изглежда е при 2. При у = 2. Това отгоре изглежда е h(х). Това отгоре изглежда като h(х). И можем да потвърдим това. Кога h(х) ще е равно на 0? Числителят е равен на 0, когато х е равно на 6, и виждаме това ето тук. Това може би не ни помага толкова много, понеже g също е равно на 0 при 6, но поне хоризонталните асимптоти ни дават насока. Когато х става много, много, много голямо, тогава изваждането на 12 в числителя и изваждането на 5 в знаменателя, ще имат все по-малко и все по-малко значение. Искаме да разгледаме членовете от най-висока степен. Това ще доближи 2х/2, което е 2. И виждаме това за h. А g, ако просто използваме дедуктивно разсъждение, ще си кажем, че това би трябвало да е g(х). Защо това е логично? g(х) е равно на (12 - 2х) върху (х - 5). Което приблизително ще е равно на – гледаме члена от най-висока степен, -2х/х, когато х клони към плюс безкрайност. Което ще е равно на – или ще доближим -2. И хоризонталната асимптота на g наистина е там. Когато х става много, много голямо, доближаваме -2, или, честно казано, когато х става много, много малко, също ще доближаваме -2. -2 по минус 1 милиард върху минус 1 милиард също ще е -2. Така че можем да сме уверени, че това е g(х).