If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 13

Урок 3: Умножение и деление на рационални изрази
Математика
Алгебра (цялото съдържание)
Рационални изрази, уравнения и функции
Умножение и деление на рационални изрази
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Умножение на рационални изрази

Класна стая на Google
Научи как да намираш произведението от два рационални израза.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Рационален израз е отношението на два цели израза (полинома). Дефиниционното множество на един рационален израз включва всички реални числа, с изключение на онези, за които знаменателят е равен на нула.
Можем да опростяваме рационалните изрази, като съкратим общите множители в числителя и знаменателя.
Ако това не ти е познато, вероятно ще искаш да прегледашe първо следните уроци:

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да умножаваш рационални изрази.

Умножаване на дроби

За начало нека си припомним как умножаваме обикновени дроби.
Разгледай този пример:
=34⋅109=32⋅2⋅2⋅53⋅3Разлагане на числителите и знаменатели=32⋅2⋅2⋅53⋅3Съкращаване на общите множители=56Умножаване\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{10}{9}\\\\ &=\dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD2\cdot 5}{\greenD3\cdot 3} &&\small{\gray{\text{Разлагане на числителите и знаменатели}}} \\\\ &=\dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD{\cancel{2}}\cdot 5}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}&&\small{\gray{\text{Съкращаване на общите множители}}} \\\\ &=\dfrac{5}{6}&&\small{\gray{\text{Умножаване}}} \end{aligned}
В заключение, за да умножим две обикновени дроби, извършихме разлагане, съкратихме общите множители и умножихме в числителя и в знаменателя.

Пример 1: start fraction, 3, x, squared, divided by, 2, end fraction, dot, start fraction, 2, divided by, 9, x, end fraction

Можем да умножаваме рационалните изрази по начин, много подобен на този, по който умножаваме обикновени дроби.
=3x22⋅29x=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xРазложи числителите и знаменателите(Забележка x≠0)=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xСъкрати общите множители=x3Умножи в числителя и в знаменателя\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^2}{2}\cdot\dfrac{2}{9x}\\\\\\ &=\dfrac{3\cdot x\cdot x}{2}\cdot \dfrac{2}{3\cdot 3\cdot \goldD x}&& \small{\gray{\text{Разложи числителите и знаменателите}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Забележка } \goldD{x\neq 0})}\\ \\ \\&=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{ x}}\cdot x}{\purpleC{\cancel{2}}}\cdot \dfrac{\purpleC{\cancel{2}}}{\blueD{\cancel{ 3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{ x}}}&& \small{\gray{\text{Съкрати общите множители}}} \\ \\ &=\dfrac{x}{3}&&\small{\gray{\text{Умножи в числителя и в знаменателя}}} \end{aligned}
Припомни си, че първоначалният израз е дефиниран за x, does not equal, 0. За опростеното произведение трябва да важат същите ограничения. Ето защо трябва да обърнем внимание, че x, does not equal, 0.
Изписваме опростеното произведение както следва:
start fraction, x, divided by, 3, end fraction за x, does not equal, 0

Провери знанията си

1) Умножи и опрости произведението.
start fraction, 4, x, start superscript, 6, end superscript, divided by, 5, end fraction, dot, start fraction, 1, divided by, 12, x, cubed, end fraction, equals
за x, does not equal
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Пример 2: start fraction, x, squared, minus, x, minus, 6, divided by, 5, x, plus, 5, end fraction, dot, start fraction, 5, divided by, x, minus, 3, end fraction

И отново извършваме разлагане, съкращаваме общите множители и след това умножаваме в числителя и в знаменателя. Накрая се уверяваме, че сме взели предвид всички недопустими стойности.
=x2−x−65x+5⋅5x−3=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Разложи(Бележка x≠−1 и x≠3)=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Съкрати общите множители=x+2x+1Умножи\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2-x-6}{5x+5}\cdot\dfrac {5}{x-3}\\\\\\ &=\dfrac{(x-3)(x+2)}{5\cdot \goldD{(x+1)}}\cdot \dfrac{5}{\maroonD{x-3}}&&\small{\gray{\text{Разложи}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Бележка }\goldD{x\neq -1}} \text{ и }\maroonD{x\neq 3} )\\ \\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x-3)}}{(x+2)}}{\greenD{\cancel{5}}\cdot({x+1})}\cdot \dfrac{{\greenD{\cancel{5}}}}{\blueD{\cancel{x-3}}}&&\small{\gray{\text{Съкрати общите множители}}}\\ \\ &=\dfrac{x+2}{x+1}&&\small{\gray{\text{Умножи}}} \end{aligned}
Първоначалният израз е дефиниран за всяко x, does not equal, minus, 1, ;, 3. За опростеното произведение трябва да важат същите ограничения.
По принцип произведението на два рационални израза е недефинирано при всяка стойност, която прави всеки от първоначалните рационални изрази недефиниран.

Провери знанията си

2) Умножи и опрости произведението.
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 5, x, plus, 10, end fraction, dot, start fraction, x, squared, minus, 4, divided by, x, squared, end fraction, equals
Какви са всички ограничения в дефиниционното множество на получения израз?
Избери всички правилни отговори:

3) Умножи и опрости произведението.
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction, dot, start fraction, x, minus, 4, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals
Какви са всички ограничения в дефиниционното множество на получения израз?
Избери всички правилни отговори:

Какво следва?

Ако чувстваш увереност в уменията си в умножението, можеш да продължиш с деление на рационални изрази.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.