Частично разширение на дроб: въведение

- Да видим дали можем да научим и по нещо за разширението на частични дроби, или както още се нарича, разлагане на дроби - Идеята е да вземем рационални функции (като рационална функция е просто функция, където един израз е разделен на друг) и да ги разширим или разложим на по-прости части И първото, кето трябва да направим, дори преди да започнем процеса на разширение на частични дроби, е да сме сигурни, че числителят е от по-ниска степен от знаменателя В тази ситуация – в задачата, която съм написал тук, това не е така Числителят и знаменателят са от една и съща степен Значи, първата ни стъпка е да достигнем числител с по-малка степен от знаменателя с малко алгебрична дивизия Имам клип за това, но никога не е в повече да преговорим малко. За да направим това, делим знаменателя да числителя, за да видим какво остава. Значи, делим x на квадрат минус 3x минус 40 на x на квадрат минус 2x минус 37 Значи, какво получаваме ? Търсим члена от най-висока степен, значи x на квадрат, по цялото това нещо е x на квадрат минус 3x минус 40 – и сега да извадим това от това и да видим какво остава Вижте , тъй като това е изваждане, имам минус минус, което е плюс и сега можем да ги съберем Това се анулира Минус 2x плюс 3x – това е x Минус 37 плюс 40 – това е плюс 3 Значи, този израз тук може да бъде преписан като (нека се преместя малко надолy) като 1 плюс x плюс 3 върху x на квадрат минус 3x минус 40 Може да ви изглежда, че съм направил някаква магия тук, но това е същото като нещата, които сте учили в четвърти или пети клас – превръщане на направилни дроби в смесени числа - Нека ви дам един малък пример Нека имам 13 на 2 и искам да превърна това в смесено число, Сега сигурно можете да си го превърнете наум, но са ви учили, да разделите числителя на знаменателя Точно както направихме тук 13 на 2 2 влиза в 13 шест пъти, 6 по 2 е 12, вадим това от това и имаме остатък 1 2 не влиза в 1, значи това ни е просто остатък Ако препишем това, ще имаме колко пъти знаменателят влиза в числителя, това ни е 6, плюс остатъка върху знаменателя Плюс 6 плюс 1 върху 2 В малките класове сте записвали това просто като 6 ½, но 6 ½ е същото като 6 плюс 1/2 Точно това направихме тук Знаменателят влезе в числителя един път и ни остана остатък x плюс 3 – значи имаме 1 плюс x плюс 3 върху този израз Сега виждаме, че чилителят на този рационален израз в действителност има по-ниска степен от знаменателя Тук най-високата степен е 1, а тук е 2 Значи сме готови да започнем с разлагането на частични дроби А това е просто да вземем този израз горе и да го превърнем в по-прости изрази, където знаменателите са множителите на този, по-нисък член Сега, нека разложим този, по-нисък член Да видим Кои са тези две числа, чийто сбор е минус 3 и чието произведение е минус 40 ? Да видим Трябва да имат различни знаци, защото когато се умножат дават отрицателно число, значи това ще са минус 8 и плюс 5 Ще взема друг цвят и ще препиша това тук горе като 1 плюс x плюс 3 върху x плюс 5 по x минус 8 5 по минус 8 е минус 40, плюс 5 минус 8 е минус 3 – значи всичко е точно Сега ще се съсретоточа върху тази част Можем просто да запомним, че това 1 стои тук отпред Това е израза, който искаме да разложим или разширим Ще го разширим в два по-прости израза ще направя твърдение и, ако числата ми излязат правилни, значи твърдението е правилно Така, твърдя, че мога да разширя или разложа това в дроби, където първата дроб е просто някакво число върху пъpвия множител, върху x плюс 5, плюс някакво число b върху втория многжител – върху x минус 8 Това ми е твърдението и ако мога да го реша за а и b, така че да ми се получи това, значи съм готов и ще съм разложил тази дроб напълно (Не знам дали това са правилните термини) Нека опитаме да направим това Ако събера тези два члена, какво ще получа ? Когато събираме нещо, търсим общ знаменател, а най- лесният общ знаменател е просто да умножим двата знаменателя Нека напиша това тук Значи, а върхy x плюс 5 плюс b върху x минус 8 е равно на (да вземем общия знаменател) на x плюс 5 по x минус 8 Да видим члена а – а върху x плюс 5 е същото като а по x минус 8 върху всичко това Така, ако напиша това тук, тези два члена ще се анулират и ще имаме а върху x плюс 5 И можем да добавим това към общия множител, x плюс 5 по x минус 8 и това ще е b по x плюс 5 Важно е да видим това : Този член е същият като този ако просто анулираме това x минус 8 и този член е същият като тови ако просто анулираме x плюс 5 Сега, тъй като имаме общ знаменател, можем да ги съберем, така че ето какво ще получим (нека напиша това отляво) Искам да напиша тук x плюс 3 върху плюс 5 по x минус 8 е равно на сбора на тези две неща горе а по x минус 8 плюс b по x плюс 5 – всичко това върху общия знаменател, x плюс 5 по x минус 8 Знаменателите са ни същите – значи знаем, че когато съберем това, трябва да получим това За да решим това за а и b, не е нужно да обръщаме внимание на знаменателите Можем да кажем, че x плюс 3 е равно на а по x минус 8 плюс b по x плюс 5 Сега, оттук имаме два начина, по които да решим за а и b Единият от начините е нещо, което знам от седми или осми клас, но този начин е малко по-дълъг Има и по-бърз начин и винаги е по-добре да опитаме по по-бързия начин Ако искаме да решим за а, нека вземем някакво x, което ще накара този член да изчезне Какво x би накарало този член да изчезне ? Ами, ако кажа, че x е минус 5, тогава това става 0 и b изчезва Така, че ако x е минус 5 (просто взимам произволно x за да реша това), тогава ще имам минус 5 плюс 3. Нека разпиша това, минус 5 плюс 3 е равно на а по минус 5 минус 8, нека запиша, минус 5 минус 8, плюс b по минус 5 плюс 5 Избрах минус 5, за да стане този израз 0 Взимам ярък цвят и получавам минус 5 плюс 3 е минус 2, е равно на – какво е това ? минус 13а плюс – това е 0, нали ? Минус 5 плюс 5 е 0, 0 по b е 0 и сега делим двете страни на минус 12, отрицателните се анулират и получаваме 2 върху 13 е равно на а и сега можем да направим същото тук горе и да се освободим от а-тата като направим x да е равно на 8 Ако x ни е 8, имаме x плюс 3 е равно на 11, е равно на а по 0 плюс b по (8 плюс 5...) плюс b по 13. Това b малко прилича на 13 И получаваме, че 11 е равно на 13b, делим двете страни на 13 и получаваме b равно на 11 върху 13 Значи, успяхме да решим за а и b Можем да се върнем към началното уравнение И можем да кажем... Това просто трябва да е равно на 2 върху 13 и това трябва да е равно на 11 върху 13. - Значи, съвсем началното уравнение, което написахме тук горе, може да се разложи като 1 (това 1 тук), плюс това, което е 2 върху 13 (ще го напиша просто така засега) 2 върху 13 върху b плюс 5 Ако искате, можем да свалим това 13 тук, за да нямаме дроб върху дроб Плюс 11 върху 13 върху x минус 8 И, пак казвам, можем да свалим това 13, за да нямаме дроб върху дроб И сега съм разложил тази дроб Няма да кажа, че съм я опростил, защото можете да кажете, че преди имахме само 1 израз, а сега имаме три. Но пък съм намалил степента на числителите и на знаменателите И може да кажете, ама Сал, за какво ни е да правим това ? И сте прави В алгебрата вероятно няма да ви е нужно Но пък това ще е много полезен метод за по-късно, когато ще се занимавате с висша математика и с диференциални уравнения, защото често е много по-лесно (извинете за непознатите думи) да вземем интеграла или примитивната функция на нещо такова, отколкото на нещо такова И по-късно, когато се занимавате с обратни трансформации на Лаплас и диференциални уравнения, ще е много по-лесно да използвате това уравнение, отколкото това - Както и да е, надявам се, че съм ви предоставил още един инструмент, с който да боравите. И сигурно ще направя още няколко клипа за това, защото не съм изчерпал полезните примери за разлагане на частични дроби -