Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Рационални неравенства: двете страни са различни от нула

Сал решава рационално неравенството (x-3)/(x+4) ≥ 2. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Нека видим един малко по-труден проблем от този в последното видео. Имам тук x минус 3 върху x плюс 4 е по-голямо или равно на 2. Така, че причината, поради която това е малко по-трудно е, че сега имам по-голямо или равно. И другото нещо, което го прави малко по-сложно е, че не просто имам 0 тук, а всъщност имам 2 тук. Аз ще реша тази задача по съшия начин. Ще го направя по два начина. Ще направя същите две решения от последния път, но ще ще обърна реда на двете решения. Първото, което мога да направя, е, че мога да се изкуша--нека умножа и двете страни на това уравнение по x плюс 4. И както видяхме в последното видео, трябваше да бъдем много внимателни, защото тук имаме неравенство. Ако x плюс 4 е по-голямо от 0, тогава ще запазим същото неравенство. Ако е по-малко от 0, ще го разменим Нека разгледаме тези две ситуации. Така, едната ситуация е--нека да го направим тук. Едната ситуация е x плюс 4 е по-голямо от 0. И не забравяйте, че може понякога да бъде равно на 0, защото след това изразът ще бъде недефиниран. Така, нека разгледаме x плюс 4 е по-голямо от 0. Ако извадим 4 и от двете страни на това уравнение, това е еквивалентно на - това са еквивалентни твърдения. Ако извадим 4 и от двете страни, x е по-голямо от минус 4. Значи, ако приемем, че х е по-голямо от минус 4, то x плюс 4 ще бъде по-голямо от 0. И тогава, когато умножим и двете страни по x плюс 4--нека направим това. x минус 3 върху x плюс 4. Имате 2. Ще умножим и двете страни на това по x плюс 4. Тъй като ние допускаме, че x е по-голямо от минус 4 или, че x плюс 4 е по-голямо от 0, не трябва да обръщаме знака на неравенството. Умножаваме и двете страни с положително число. Така, че неравенството си остава същото като в нашата начална задача. И цялата причина, това да е така е, защото това и това ще се съкратят. И тогава, имаме 2 по х плюс 4. Да видим какво ще получим. x минус 3 е по-голямо или равно на 2 по х плюс 2 по 4, което е 8. И сега, какво можем да направим? Можем да извадим x и от двете страни. Получаваме минус 3 е по-голямо или равно на x плюс 8. Просто взех x от 2 x. И тогава, можем да извадим 8 от двете страни. Така, изваждаме 8 от двете страни. И получавате минус 3 минус 8 е минус 11 е по-голямо или равно на x. И, разбира се, изваждаме 8 така, че това тук изчезва. Ако приемем, че х е по-голямо от минус 4, тогава x трябва да бъде по-малко или равно на минус 11. Сега, това изглежда малко безсмислено. За да бъде това твърдение вярно, x трябва да бъде и по-голямо от минус 4, и по-малко от минус 11. Всичко по-голямо от минус 4 ще бъде по-голямо от минус 11. Значи няма x, което да отговаря на това уравнение. Така, ако приемем, че x плюс 4 е по-голямо от 0, накрая имаме безсмислено решение. Можем всъщност да игнорираме това решение. Няма ситуация, в която x плюс 4 ще бъде по-голямо от 0 и ние всъщност да имаме решение на това уравнение. Нека предположим какво се случва, когато x плюс 4 е по-малко от 0. Ще го направя тук. Какво се случва, когато x плюс 4 е по-малко от 0? И още веднъж, това е еквивалентно твърдение. Ако извадим 4 от двете страни на това уравнение да кажем, че х е по-малко от минус 4. Това са еквивалентни твърдения. Ако приемем, че х е по-малко от минус 4, тогава, когато умножим и двете страни на това уравнение по x плюс 4 и сте умножили по x минус 3 върху x плюс 4. Имате вашето 2 и сте умножили това по x плюс 4. Тъй като ние сме взели другата ситуация, където x е по-малко от минус 4, което прави този израз отрицателен-тъй като сме умножили и двете страни на уравнението с отрицателно число, разменяме неравенството ето така. И нека да видим какво ще получим. Това и това се съкращават. А после получаваме x минус 3 е по-малко или равно на 2 по x плюс 2 по 4, което е 8. Ще направим същото изчисление. Нека извадим x от двете страни. Получаваме минус 3 е по-малко или равно на x плюс 8. Ако извадим 8 от двете страни, получаваме минус 11 е по-малко или равно на x. по-малко или равно на x. Ако приемем, че това е отрицателно, получаваме, че x е по-малко от минус 4. Ако x е по-малко от минус 4, за да се задържи уравнението, x също трябва да бъде по-голямо от минус 11. И това всъщност е възможно. Можете да имате x, така, че x трябва да бъде--можем да препишем това - по-голямо или равно на минус 11. Просто разменихме двете страни. И x трябва да бъде по-малко от минус 4. Има х-ове, които отговарят на тези две ограничения. Нямаше х-ове, които отговарят на тези две ограничения. Нищо не отговаря и на двете, но има неща които отговарят на тези двете. Например минус 5. Нека нарисуваме това на числовата ос. Нека нарисуваме решението на този проблем. Ще оставя задачата там. Ако нарисувам числова ос, ще сменя цветовете. Имаме минус 11. Може да бъде по-голямо или равно на минус 11. Така, това е минус 11. И след това имаме минус 4 тук. И след това имаме минус 4 тук. Може би и 0 тук. Трябва да бъде по-малко от минус 4. Не забравяйте, че не може да бъде равно на минус 4, защото това ще направи това неопределено. Значи трябва да бъде по-малко от минус 4, така че не включваме минус 4. Ние сме под минус 4, но трябва да бъде по-голямо или равно на 11. Така, не можем да отидем по-надолу от 11, но включваме 11, защото това е по-голямо или равно на. Така, всичко тук, където съм подчертал--всичко в този обхват ще задоволи това уравнение там. Сега нека го направим по друг начин. Нека го направим там, където--числителят и знаменателят и двете трябва да бъдат положителни или отрицателни. Нека да видим дали можем да решим същата задача по този начин. Нека го препишем тук, може би в нов цвят. Същата задача. x минус 3 върху x плюс 4 е по-голямо или равно на 2. Сега, за да направите този извод, който направих в първото видео, спомнете си първото видео, което споменах, добре, имаме а делено на b е по-голямо от 0. И двете са положителни или и двете са отрицателни. Но това върши работа само, когато имахме 0 тук. Но ние нямаме 0 тук, имаме 2, така, че не можем поне веднага да направим тази обосновка. Но вероятно можем ако извадим 2 от двете страни на това уравнение. Да направим това. Имате x минус 3 върху x плюс 4 минус 2 е по-голямо или равно на 0. Просто изваждаме 2 от двете страни. Мога да добавям или изваждам без да обърквам неравенството. Никога не трябва да се тревожим за това. Това е само, когато умножавате по отрицателни, когато разменяте неравенството. И сега, какво е това? Знаете ли, това не изглежда като рационален израз. Но мога да препиша минус 2, нали? Минус 2 е същото нещо като минус 2 по х плюс 4 върху x плюс 4. Това е минус 2 по 1. Това е същото нещо. И това е същото като минус 2 x плюс-- да бъдем внимателни. Това е същото като минус 2 x минус 8 върху x плюс 4. Това тук е точно същото като минус 2. Просто го умножавам по x плюс 4 за x плюс 4. Нека го напиша по този начин, защото след това можем да ги добавим. Така, ако пишем по този начин, значи аз имам x минус 3 върху x плюс 4. Написах по този начин, така , че имам общ знаменател. И след това имам плюс минус 2 x минус 8 върху x плюс 4 е по-голямо от 0. Имам един общ знаменател. Това е целият смисъл на това. И така, имам един знаменател на x плюс 4, и след това при добавяне на тези две неща, можете да получите x минус 2 x. Това е минус x. И след това, имате минус 3 минус 8--това е минус 11 - е по-голямо от 0. Така, сега опростявам задачата по този начин. Има две ситуации. О нека бъдем много внимателни. Това е по-голямо или равно. Това трябва да бъде по-голямо или равно. Не искам да загубя този малък знак за равенство. Това е целият смисъл на задачата. Така, сега аз съм готов да действам по този начин. Всъщност, преди дори да направя това, нека да махнем едно нещо. Нека изясним. x никога не може да бъде равно на минус 4. Защото ако x е равно на минус 4, цялото твърдение--този първоначален проблем е недефиниран. Така, нека просто напишем това първо. Знаете, че можехме да напишем това от самото начало. x не може да бъде равно на минус 4, за всяко решение. Това ще направи този израз неопределен. Сега ние имаме това и видяхме в първото видео, видяхме и тук, че има две ситуации. Или и двете от тях са положителни. Така, че и двете са положителни, значи минус x минус 11 е по-голямо или равно на 0. Това може да бъде равно на 0. Всъщност, ако това е равно на 0, след това всичко това ще бъде вярно. Така или това е по-голямо или равно на 0, и това тук е по-голямо от 0. Не може да бъде равно на 0. x плюс 4 е по-голямо от 0. Това е ситуацията, когато и двете са положителни. Или и двете ще бъдат по-малки от 0. Нямам място. Или минус x минус 11 е по-малко или равно на 0. И -- ще напиша ето така. И x плюс 4 е по-малко от 0. Не забравяйте, че никога не може да е равно на 0. Така, те са едновременно положителни или и двете са отрицателни. Това е единственият начин да получим нещо. Добре, числителят може да бъде равен на 0, защото това може да е равно на 0. Или и двете са положителни за да се получи нещо положително. Или и двете са отрицателни, така, че когато разделим отрицателно с отрицателно, все още получавате нещо положително. Нека разгледаме тези две ситуации и да видим дали ще получим решения, които имат смисъл. Точно тук, ако добавим x към двете страни на това уравнение, получаваме минус 11 е по-голямо или равно на x. Или ако го изразите по друг начин, може да се каже, че, x е по-малко или равно на минус 11. Просто размених двете страни. И след това тук, ако добавим минус 4--ако извадим 4 от двете страни, получаваме x е по-голямо от минус 4. Но отново, това няма смисъл. Няма начин да имам - не забравяйте, че имам там и тук. И двете трябва да са верни. Няма x, което да е по-голямо от минус 4 и по-малко от минус 11. Това тук, няма никакви ограничения. И двете от тях не може да съществуват--както числителят, така и знаменателят никога не могат да бъдат положителни едновременно, защото за да бъдат и двете положителни, ще имате невъзможно ограничение за запълване. Нека разгледаме ситуацията. Другата ситуация е, когато те са едновременно отрицателни. Когато и числителят, и знаменателят са отрицателни. Нека изясним. Не може да направите изявление и за двете, че не са положителни. Тези две неща могат да бъдат положителни. Не забравяйте, защото ние трябваше да се получим 0 тук за да използваме тази логика в началото. Така, че поради факта, че сме се опитали да намерим х, което би направило и двете положителни, имаме безсмислено ограничение, което ми подсказва, че и този числител, и този знаменател никога не се положителни за всяко дадено x. Сега, нека да видим дали те могат да бъдат отрицателни. И за двете от тях да бъдат отрицателни или числителят да може да бъде равен на 0. Ако добавим x към двете страни на това получаваме минус 11 по-малко или равно на x. Или бихме могли да кажем, че x е по-голямо или равно на минус 11, само заменяме двете страни. Тук, ако извадим 4 от двете страни имаме x е по-малко от минус 4. И--и това е и. Така, x трябва да бъде по-голямо или равно на минус 11 или по-малко от минус 4, което е точно, което видяхме в последната задача. Мога да нарисувам числовата ос отново. Трябва да бъде по-голямо или равно на минус 11. Така, че това е минус 11 там. Може да бъде по-голямо или равно, но трябва да бъде по-малко от минус 4. Така, това е минус 4. Дори не може да бъде равно на минус 4, които ще направи нашия знаменател неопределен или цялото уравнение недефинирано. Знаменателят ще бъде 0. И така, това е нашето решение. Всяка стойност от отбелязаната област, включително минус 11, но без да включваме минус 4. Ако имате тази задача мисля, че можете да се справите с почти всяко рационално уравнение. Надявам се , че ви е харесало.