If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 13

Урок 2: Опростяване на рационални изрази
Математика
Алгебра (цялото съдържание)
Рационални изрази, уравнения и функции
Опростяване на рационални изрази
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Опростяване на рационални изрази

Класна стая на Google
Научи какво означава да опростим рационален израз и как се прави това!

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Рационален израз е отношението на два цели израза (полинома). Дефиниционното множество на един рационален израз включва всички реални числа, с изключение на онези, за които знаменателят е равен на нула.
Например, дефиниционното множество на рационалния израз start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction включва всички реални числа с изключение на start text, negative, 1, end text или x, does not equal, minus, 1.
Ако това е ново за теб, препоръчваме ти да разгледаш нашето въведение в рационалните изрази.
За този урок трябва също така да знаеш как да разлагаш полиноми.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научим как да опростяваме рационални изрази, като разгледаме няколко примера.

Въведение

Един рационален израз се счита за опростен, ако числителят и знаменателят нямат общи множители.
Можем да опростяваме рационални изрази по същия начин, по който опростяваме числени дроби.
Например опростеният вариант на start fraction, 6, divided by, 8, end fraction е start fraction, 3, divided by, 4, end fraction. Обърни внимание как изключихме общия множител 2 от числителя и знаменателя:
68=2⋅32⋅4=2⋅32⋅4=34\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4} \\\\ &= \dfrac{\tealE{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealE{\cancel{2}}\cdot 4} \\\\ &= \dfrac{3}{4} \end{aligned}

Пример 1: Опростяване на start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
Единственият начин да разбереш дали числителят и знаменателят имат общи множители, е да ги разложиш!
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
На този етап е полезно да обърнем внимание на недопустимите стойности на x. Те ще важат и за опростения израз.
Тъй като делението на 0 е неопределено, тук виждаме, че start color #0c7f99, x, does not equal, 0, end color #0c7f99 и start color #7854ab, x, does not equal, minus, 5, end color #7854ab.
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #7854ab, end fraction
Стъпка 3: Съкрати общите множители
Сега обърни внимание, че числителят и знаменателят имат общ множител x. Той може да се съкрати.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned} \dfrac{\tealE x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealE {\cancel {x}}(x+3)}{\tealE{\cancel x}(x+5)} \\\\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
Стъпка 4: Краен отговор
Спомни си, че за първоначалния израз недопустими стойности са x, does not equal, 0, ;, minus, 5. Опростеният израз трябва да има същите ограничения.
Ето защо трябва да обърнем внимание, че x, does not equal, 0. Няма защо да отбелязваме, че x, does not equal, minus, 5, тъй като това се подразбира от израза.
В заключение можем да кажем, че изразът в опростен вид изглежда по следния начин:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction за x, does not equal, 0

Забележка за еквивалентните изрази

Първоначален изразОпростен израз
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fractionstart fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction за x, does not equal, 0
Двата израза по-горе са еквивалентни. Това означава, че числените стойности на изразите са едни и същи за всички възможни стойности на x. В таблицата по-долу това е показано за x, equals, 2.
Първоначален изразОпростен израз
Пресмятане за start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2⋅52⋅7=2⋅52⋅7=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleD{2})^2+3(\purpleD{2})}{(\purpleD{2})^2+5(\purpleD{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleD{{2}}\cdot 5}{\purpleD{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleD{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleD{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleD{2}+3}{\purpleD{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}
ЗабележкаРезултат от опростяването със съкращаване на общия множител start color #7854ab, 2, end color #7854ab.Резултатът вече е максимално опростен, тъй като множителят, съдържащ x (в този случай start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab), вече беше съкратен при опростяването.
Поради тази причина двата израза имат еднаква стойност за един и същ аргумент. Обаче стойностите, които правят първоначалния израз неопределен, често не следват това правило. Забележи, че такъв е случаят с start color #7854ab, x, equals, 0, end color #7854ab.
Първоначален изразОпростен израз (без ограничения)
Пресмятане за start color #7854ab, x, equals, 0, end color #7854ab(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=неопределен\begin{aligned}\dfrac{(\purpleD{0})^2+3(\purpleD{0})}{(\purpleD{0})^2+5(\purpleD{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{неопределен}\end{aligned}0+30+5=35неопределен\begin{aligned}\dfrac{\purpleD{0}+3}{\purpleD{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\&\phantom{\text{неопределен}}\end{aligned}
Тъй като двата израза трябва да бъдат еквивалентни при всички възможни входящи стойности, трябва да подчертаем, че x, does not equal, 0 за опростения израз.

Внимавай да не се подведеш!

Обърни внимание, че не можем да изключим x-овете от израза по-долу. Това е така, защото те са по-скоро членове, отколкото множители на полиномите!
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, does not equal, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Това става ясно, когато разгледаме един пример. Например, да предположим, че start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab.
start fraction, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, plus, 3, divided by, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, plus, 5, end fraction, does not equal, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
По правило, можем да изключваме множители само ако числителят и знаменателят са в разложен вид!

Обобщение на процеса на опростяване

  • Стъпка 1: Разлагане на числителя и знаменателя.
  • Стъпка 2: Посочване на недопустимите стойности.
  • Стъпка 3: Съкращаване на общите множители.
  • Стъпка 4: Опростяване и отбелязване на всички недопустими стойности, които не се подразбират от израза.

Провери знанията си

Задача 1
Опрости израза start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction.
Избери един отговор:

Задача 2
Опрости израза start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction.
при x, does not equal
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Пример 2: Опростяване на start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
Тъй като делението на 0 е неопределено, тук виждаме, че start color #0c7f99, x, does not equal, minus, 2, end color #0c7f99 и start color #7854ab, x, does not equal, minus, 3, end color #7854ab.
start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #7854ab, end fraction
Стъпка 3: Съкрати общите множители
Обърни внимание, че числителят и знаменателят имат общ множител start color #208170, x, plus, 3, end color #208170. Той може да се съкрати.
(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x−3)(x+3)(x+2)(x+3)=x−3x+2\begin{aligned} \dfrac{(x-3)\tealE{(x+3)}}{(x+2)\tealE{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealE{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealE{\cancel{(x+3)}}} \\\\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
Стъпка 4: Краен отговор
Записваме опростения вид на израза по следния начин:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction за x, does not equal, minus, 3
За първоначалния израз недопустимите стойности са x, does not equal, minus, 2, ;, minus, 3. Не се налага да отбелязваме, че x, does not equal, minus, 2, след като това се подразбира от израза.

Провери знанията си

Задача 3
Опрости израза start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction.
Избери един отговор:

Задача 4
Опрости израза start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction.
при x, does not equal
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.