If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Алгебра (цялото съдържание)

Курс: Алгебра (цялото съдържание) > Раздел 13

Урок 2: Опростяване на рационални изрази
Математика
Алгебра (цялото съдържание)
Рационални изрази, уравнения и функции
Опростяване на рационални изрази
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Опростяване на рационални изрази (за напреднали)

Класна стая на Google
Научи ли основното при опростяването на рационални изрази? Чудесно! Сега натрупай още опит с няколко по-сложни примера.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Рационален израз е отношението на два цели израза (полинома). Един рационален израз се смята за опростен, ако числителят и знаменателят нямат общи множители.
Ако това е ново за теб, препоръчваме да разгледаш нашето въведение в опростяването на рационални изрази.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще се упражняваш да опростяваш по-сложни рационални изрази. Нека разгледаме два примера, след което можеш да опиташ да решиш няколко задачи!

Пример 1: Опростяване на space, start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
Тук е важно да обърнеш внимание, че независимо, че числителят е едночлен, можем да разложим и него.
start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction, equals, start fraction, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, squared, divided by, 2, dot, x, dot, left parenthesis, x, minus, 9, right parenthesis, end fraction
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
От разложения вид на израза се вижда, че x, does not equal, 0 и x, does not equal, 9.
Стъпка 3: Съкрати общите множители
2⋅5⋅x⋅x22⋅x⋅(x−9)=2⋅5⋅x⋅x22⋅x⋅(x−9)=5x2x−9\begin{aligned}\dfrac{ \tealD 2\cdot 5\cdot \purpleC{x}\cdot x^2}{ \tealD 2\cdot \purpleC{x}\cdot (x-9)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot 5\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot x^2}{ \tealD{\cancel{ 2}}\cdot \purpleC{\cancel{x}}\cdot (x-9)}\\ \\ &=\dfrac{5x^2}{x-9} \end{aligned}
Стъпка 4: Краен отговор
Опростеният израз изглежда по следния начин:
start fraction, 5, x, squared, divided by, x, minus, 9, end fraction за x, does not equal, 0

Основен момент

В този пример виждаме, че понякога ще се налага да разлагаме едночлени, за да опростим един рационален израз.

Провери знанията си

1) Опрости start fraction, 6, x, squared, divided by, 12, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9, x, cubed, end fraction.
Избери един отговор:

Пример 2: Опростяване на space, start fraction, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя
Дори и да не изглежда, че има общи множители, x, minus, 3 и 3, minus, x са свързани. Всъщност, можем да изнесем пред скоби minus, 1 в числителя, за да намерим общия множител x, minus, 3.
=(3−x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(−3+x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)Комутативност\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{\goldD{-1}{(-3+x)}(x-1)}{{(x-3)}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\quad\small{\gray{\text{Комутативност}}} \end{aligned}
Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности
От разложения вид на израза се вижда, че x, does not equal, 3 и x, does not equal, minus, 1.
Стъпка 3: Съкрати общите множители
=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−1)x+1=1−xx+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\\\\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x-1)}{{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{-1(x-1)}{x+1} \\\\ &=\dfrac{1-x}{x+1} \end{aligned}
Последната стъпка на умножение по minus, 1 в числителя не беше необходима, но е прието да се прави така.
Стъпка 4: Краен отговор
Изписваме опростения вид на израза както следва:
start fraction, 1, minus, x, divided by, x, plus, 1, end fraction при x, does not equal, 3

Основен момент

Множителите x, minus, 3 и 3, minus, x са противоположни, тъй като minus, 1, dot, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 3, minus, x.
В този пример видяхме, че тези множители се съкращават, но се прибавя множител minus, 1. Казано по друг начин, множителите x, minus, 3 и 3, minus, x се свеждат до start text, negative, 1, end text.
По принцип, противоположните множители a, minus, b и b, minus, a ще се сведат до minus, 1, при условие, че a, does not equal, b.

Провери знанията си

2) Опрости start fraction, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, divided by, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction.
Избери един отговор:

3) Опрости start fraction, 15, minus, 10, x, divided by, 8, x, cubed, minus, 12, x, squared, end fraction.
при x, does not equal
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Нека опитаме още няколко задачи

4) Опрости start fraction, 3, x, divided by, 15, x, squared, minus, 6, x, end fraction.
Избери един отговор:

5) Опрости start fraction, 3, x, cubed, minus, 15, x, squared, plus, 12, x, divided by, 3, x, minus, 3, end fraction.
при x, does not equal
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Опрости start fraction, 6, x, squared, minus, 12, x, divided by, 6, x, minus, 3, x, squared, end fraction.
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.