Превръщане между рекурентна и явна формула за задаване на геометрична прогресия

Имам функцията g от x е равно на 9 по 8 на степен х минус 1. Тя е определена, когато х е положително число или по-точно положително цяло число. Можем да кажем, че дефиниционното множество на тази функция или всички валидни аргументи тук са положителни цели числа. 1, 2, 3, 4, 5 и т.н. и т.н. Това е една явно определена функция. Сега искам да напиша рекурентно зададената формула на тази същата функция. Като за дадено х тя ще има точно същите стойности. Нека първо се опитаме да разберем аргументите и стойностите тук. Да начертаем тук една таблица. И нека помислим какво се случва, когато въвеждаме различни стойности за х в това определение за функция. И така, дефиниционното множество са положителните цели числа. Нека опитаме с няколко от тях. 1, 2, 3, 4. И след това нека видим колко е съответната g от х. Когато х е равно на 1, g от х е 9 по 8 на степен х минус 1, 9 по 8 на нулева степен или 9 по 1. Така че g от х ще бъде просто 9. Какво ще се случи, когато х е 2? Ще имаме 9 по 8 на степен 2 минус 1. Това е същото като 9 по 8 на първа степен. Или просто 9 по 8. Така че имаме 72. Всъщност нека го напиша по този начин. Нека го напиша просто като 9 по 8. Какво се случва, когато х е равно на 3? Тук имаме 3 минус 1, което е 2. Ще имаме 8 на квадрат. Имаме 9 по 8 на квадрат. Можем да го напишем като 9 по 8 по 8. Мисля, че виждаш как се оформя една закономерност. Когато х е 4, тук имаме 8 на степен 4 минус 1 или 9 на трета степен. Така че това е 9 по 8, по 8, по 8. Това ни дава една добра насока как да определим това рекурентно. Забележи, че ако първият член, когато х е равно на 1, е 9, всеки следващ член ще бъде 8 по предишния член. Ще бъде 8 по предишния член. 8 по предишния член. 8 по предишния член. Така че нека определим това като рекурентно зададена функция. Първо нека определим базовия случай. Можем да кажем g от х – като ще го напиша с нов цвят, защото използвам прекалено много червеното. Харесва ми синьото. g от х. Добре, можем да определим базовия случай. Функцията ще бъде равна на 9, ако х е равно на 1, g от х ще е равно на 9, ако х е равно на 1. Това ще се погрижи за това там. И след това, ако това е равно на нещо друго, то ще е равно на предишното g от х. Нека слезем чак до х минус 1 и след това до х. Ако това цялото тук е g от х минус 1, по колкото пъти умножаваш с 8-ците имаме 9 отпред, така че това е g от х минус 1. Знаем, че g от х, знаем, че това тук ще бъде предишната стойност, g от х минус 1. Предишната стойност по 8. Можем да напишем това тук. По 8. За всяко друго х, различно от 1, g от х е равно на предишната стойност, ще напиша това със синьо – g от х минус 1 по 8. Ако х е по-голямо от 1 или х е цяло число по-голямо от 1. Сега нека проверим дали това наистина е така. Нека начертаем още една таблица тук. Още веднъж, ще имаме х и ще имаме g от х. Но този път ще използваме това определение за рекурентно задаване на g от х. И причината поради която то е рекурентно зададено, е, че то се отнася за него самото. В своето собствено определение то гласи, че g от х, ако х не е равно на 1, ще бъде g от х минус 1. То използва самата функция. Но ние ще видим, че това в действителност ще проработи. Да видим... Когато х е равно на 1, то g от 1 ако х е равно на 1, g ще е равна на 9. Ще бъде равна на 9. Това беше доста лесно. Какво се случва, когато х е равно на 2? Когато х е равно на 2, този случай не е вече приложим. Слизаме надолу при този случай. Когато х е равно на 2, това ще бъде еквивалентно на g от 2 минус 1. Нека го запиша. Ще бъде еквивалентно на g от 2 минус 1, по 8, което е същото като g от 1 по 8. А колко е g от 1? Ами g от 1 е ето тук. g от 1 е 9. Така че това ще бъде равно на 9 по 8. Точно каквото получихме тук. И, разбира се, това беше еквивалентно на g от 2. Нека го запиша. Това е g от 2. Ще превъртя малко настрани, за да не го сблъсквам. Сега нека отидем до 3. Нека отидем до 3. Като сега ще напиша g от 3 първо. И така, g от 3 е равно на, то е равно на g от 3 минус 1 по 8. Така че това е равно на g от 2 по 8. Колко е g от 2? Ами g от 2, вече намерихме, че е 9 по 8. Така че това е равно на 9 по 8 – толкова е g от 2 – отново по 8. И така виждаш, че получаваме точно същите резултати. Следователно това е рекурентно зададеното определение на тази функция.