If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Въведение в числовите редици

Числовите редици представляват наредени списъци от числа (наречени "членове") като 2, 5, 8. Някои числови редици следват определен модел, който може да бъде използван, за да ги продължим безкрайно. Например 2, 5, 8 следва модела "прибавяне на 3," и сега можем да продължим редицата. Числовите редици могат да имат формули, които ни показват как да намерим всеки един член от редицата. Например числовата редица 2, 5, 8,... може да бъде представена чрез формулата 2+3(n-1). Създадено от Сал Кан.

Видео транскрипция

В това видео искам да те запозная с понятието редица. Най-общо казано редиците са наредени списъци с числа. Например, може да имам крайна редица – което означава, че в нея има краен брой числа. Ако например започна с 1 и продължавам като прибавям 3. 1 плюс 3 е 4. 4 плюс 3 е 7. 7 плюс 3 е 10. Имаме само тези четири члена тук. Това е крайна редица. Но има и безкрайни редици. Пример за безкрайна редица – да кажем, че започваме от 3 и продължаваме като прибавяме 4. Така че отиваме от 3 до 7, до 11, 15. Не е нужно винаги да прибавяме едно и също нещо. Ще разгледаме още по-необикновени редица. Редиците, при които прибавяме една и съща величина, наричаме аритметични прогресии, и тях също ще разгледаме по-подробно. Но за да покажем, че това е безкрайно, за да покажем, че продължаваме тази редица нататък и нататък, ще поставя 3 точки. Това просто означава, че продължаваме нататък. Можем да наречем това безкрайна редица. Има много различни означения на редици, които изглеждат сложни. Но това е всичко, за което се отнасят. Искам да придобиеш увереност в това как се означават редиците и как се определят. Можем да кажем, че това тук е редицата а с индекс k, като k е от 1 до 4, която е равна на това тук. Когато я разглеждаме по този начин, можем да разглеждаме всеки от тези като членове на редицата. Това тук ще бъде първият член. Можем да го означим с индекс 1. Това тук ще бъде вторият член. Ще го означим с индекс 2. Мисля, че добиваш представа – а с индекс 3. Това тук е а с индекс 4. Това просто ни казва всички членове а с индекс k от k = 1, т.е. от първия член чак до четвъртия член. Но мога също да определя редицата, като я опиша по различен начин. Мога да определя редицата като явно зададена чрез един вид означение за функция или нещо близко до означението за функция. И така, мога да определя точно същата редица, като а с индекс k, от k равно на 1 до 4, при... вместо подробно записаните числа тук, бих могъл да кажа а с индекс k е равно на някаква функция от k. Да видим какво се случва. Когато k е 1, получаваме 1. Когато k е 2, получаваме 4. Когато k е 3, получаваме 7. Да видим. Когато k е 3, прибавихме 3 два пъти. Нека го изясня. Това беше плюс 3. Това тук беше плюс 3. Това тук е плюс 3. Независимо колко е k, започнахме от 1 и прибавяхме 3 с един път по-малко от номера на члена k. Така че можем да кажем, че това ще бъде равно на 1 + (k – 1) по 3 или може би трябваше да напиша 3( k – 1). 3( k – 1). Като ти можеш да провериш, че това е така. Ако k = 1, ще получиш 1 минус 1 е 0. По този начин а с индекс 1 ще бъде 1. Ако k = 2, ще имаш 1 плюс 3, което е 4. Ако k = 3, получаваш 1+ (3)(2) = 7. Така че това е вярно. Това е един от начините да зададем явно редицата, с това означение за функция. Искам да го изясня – по същество тук определих една функция. Ако исках по-традиционно означение за функция, можех да напиша а(k), където k е членът, който ме интересува, а(k) = 1+ 3(k – 1) Това по същество е функция, при която позволените аргументи, дефиниционното множество е ограничено до положителните цели числа. Сега, как ще означа това нещо тук? Ами бих могъл да кажа, че това е равно на... хората са склонни да използват а, но бих могъл да използвам означението b с индекс k или нещо друго. Но отново ще напиша а – а с индекс k. И тук тръгваме от първия член – това е а с индекс 1, това е а с индекс 2 – чак до безкрайност. Или можем да я определим – ако искахме да я зададем явно като функция – можехме да напишем тази редица като а с индекс k, където k започва от първия член и стига до безкрайност, при а с индекс k е равно на... започваме от 3 и прибавяме 4 с един път по-малко. За втория член прибавяме 4 веднъж. За третия член прибавяме 4 два пъти. За четвъртия член прибавяме 4 три пъти. Така че прибавяме 4 с един път по-малко от номера на члена, при който се намираме. Това е плюс 4 по k минус 1. Следователно това е друг начин за определяне на тази безкрайна редица. Сега, в двата случая я определих като явно зададена функция. Това тук е явно зададена функция. Това не е приятен цвят. Нека го напиша с... Това е явно зададена функция. Тук вероятно ще попиташ какъв е другият начин за определянето на тези функции. Можем също да я определим, особено нещо като тази аритметична прогресия, можем да я зададем също и рекурентно. Искам да съм ясен – не всяка редица може да бъде определена като явно зададена функция по този начин или като рекурентно зададена функция. Но много от тях могат, включително и тази, която е аритметична прогресия, при която всеки път прибавяме една и съща сума отново и отново. И така, как можем да направим това? Друг начин да определим тази първата редица е като кажа а с индекс k, започвайки от k равно на 1 и стигайки до 4 при... Когато определяш дадена редица рекурентно, трябва да определиш какъв е първият член, при а с индекс 1 е равно на 1. Можеш да определиш всеки друг член по отношение на члена преди него. Тогава бихме могли да напишем а с индекс k е равно на предишния член плюс... това е а с индекс k – 1... всеки член е равен на предишния член плюс... ето това е предишният член... ...в този случай прибавяме всеки път 3. Какво означава това? Определяме колко е а с индекс 1. И ако някой попита какво се случва когато k = 2? Ще кажем, добре, това е а с индекс 2 минус 1. Така че имаме а с индекс 1 плюс 3. Знаем, че а с индекс 1 е 1. Така че ще имаме 1 плюс 3, което е 4. Какво ще кажем за а с индекс 3? Ами то ще бъде а с индекс 2 плюс 3. а с индекс 2 току-що изчислихме като 4. Прибавяш 3. И става равно на 7. Това е нещото, което по същество мислено направихме, когато написахме първо редицата и решихме, че просто ще започнем с 1. И ще прибавяме 3 за всеки следващ член. И така, как ще направим тази? Още веднъж, можем да я напишем като а с индекс k. Започва от k, първият член, и стига до безкрайност. Първият член, а с индекс 1, е 3. И всеки следващ член, а с индекс k, е предишният член, а с индекс k минус 1, плюс 4. Още веднъж, започваш от 3. И след това, ако търсиш втория член, той ще бъде първият член плюс 4. Ще имаме 3 плюс 4. Стигаш до 7. И продължаваш да прибавяш 4. Така че и двете са рекурентно зададена редица. Започваме с базовия случай. И след това всеки член е определен по отношение на члена преди него или по отношение на самата функция, но функцията за различен член.