Използване на рекурентните формули на геометрични прогресии

Геометричната прогресия а с индекс i е определена чрез дадената формула, където първият член a с индекс 1 е равен на минус 1/8 и след това всеки следващ член е определен както следва, а с индекс i е 2 по предишния член. а с индекс i е 2 по а с индекс i минус 1. Колко е а с индекс 4, четвъртият член в редицата? Спри видеото на пауза и виж дали можеш да го намериш. Добре, има няколко начина да се справиш с тази задача. Единият е просто директно да използваш тези формули. Можем да кажем, че а с индекс 2, е този случай тук. а с индекс 4 ще бъде равно на 2 по а с индекс 3. Добре, а с индекс 3, ако използваме тази формула, е равно на 2 по а с индекс 2. Всеки член е равен на 2 по члена преди него. След това се връщаме отново към тази формула и казваме, че а с индекс 2 ще бъде 2 по а с индекс 1. Две по а с индекс 1. За щастие, знаем, че а с индекс 1 е минус 1/8. Ще имаме 2 по минус 1/8, което е равно на минус 1/4. И така, това е минус 1/4. 2 по минус 1/4 е равно на минус 2/4 или на минус 1/2. а с индекс 4 е 2 по а с индекс 3. а с индекс 3 е минус 1/2. Така че това ще бъде 2 по минус 1/2, което ще бъде равно на минус 1. Това е единият от начините да го решим. Друг начин да го разглеждаме е, виж, имаме първоначалния член. Знаем също частното на прогресията. Знаем, че всеки следващ член е 2 пъти члена преди него. Така че можем явно, това тук е рекурентно определение за геометрична прогресия. Но можем да я определим явно, като представим като: а с индекс i е равно на първия член минус 1/8. След това ще го умножим по 2. Ще го умножим i минус 1 пъти по 2. Можем да кажем по 2 на степен i минус 1. Нека се уверим, че в това има смисъл. а с индекс 1, въз основа на тази формула, а с индекс 1 е минус 1/8 по 2 на степен 1 минус 1. 2 на нулева степен. Така че в това има смисъл. Това ще бъде минус 1/8. Въз основа на тази формула а с индекс 2 ще бъде минус 1/8 по 2 на степен 2 минус 1. Тоест 2 на втора степен. Ще вземем първоначалния член и ще го умножим по 2 веднъж. Което е напълно вярно. а с индекс 2 е минус 1/4. Когато искаме да намерим четвъртия член от редицата чрез тази явно зададена формула, бихме могли да кажем, че а с индекс 4 е равно на минус 1/8, по 2 на степен четири минус 1. Така че това е равно на минус 1/8 по 2 на трета степен. Това е минус 1/8 по 8. Минус 1/8 по 8 е равно на минус 1. Може да ти е трудно да решиш кой метод искаш да използваш, но със сигурност вторият метод ето тук, където намерихме формулата за явно задаване на редицата, след като знаем първоначалния член и частното на прогресията, ще бъде по-лесният начин, ако се опитваме да намерим 40-ия член например. Защото, за да намерим 40-ия член, прибягвайки до това, ще ни отнеме доста време и, честно казано, много листи хартия.