Въведение към частични суми

Даден е безкраен ред, което е същото като сумата на членовете на безкрайна редица S, която е равна на сбора от n = 1... искам да го запиша по-прегледно. от n = 1 до n равно на безкрайност, от а с индекс n. Това е малък преговор. Можем да кажем, че това е равно на а с индекс 1 плюс а с индекс 2, плюс а с индекс 3, и можем да продължим да събираме членовете до безкрайност. Сега искам да те запозная с понятието частична (парциална) сума. Това тук е безкраен ред или сбор на членовете на безкрайна редица. Но можем да дефинираме частична сума, ако имаме S с индекс 6, този начин на записване означава, че ако S е безкраен ред, S с индекс 6 е частична сума от първите шест члена. В този случай това ще бъде... няма да продължим да събираме до безкрайност, а това ще бъде а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6. Мога да го направя малко по-разбираемо. Да кажем, че този безкраен ред S е равен на сбора от n = 1 до безкрайност от 1/n^2. Тук ще бъде 1 върху 1 на квадрат, плюс 1 върху 2 на квадрат, плюс 1 върху 3 на квадрат, и можем да продължим така до безкрайност. Но тук в тази сума... Ще използвам същия цвят. Тук S... Казах, че ще сменя цвета, а не го направих. На колко ще е равно S с индекс 3? На частичната сума на първите три члена. Препоръчвам ти да спреш видеото и да го решиш самостоятелно. Това ще бъде просто първия член плюс втория член, 1/4, плюс третия член, 1/9, това е сборът от първите три члена, което можем да пресметнем. Да видим колко е общият знаменател, той е 36. Това е 36/36, плюс 9/36 плюс 4/36. Това е 49/36. Целта на това видео е да разберем какво е частична сума. И това, което виждаме, е, че можем да изразим какво е частична сума с алгебрични средства. Например... само да си направя малко място. Нека да имаме бекраен ред S, който е равен на сбора от n = 1 до безкрайност на а с индекс n. Да кажем, че знаем, че частичната сума, Sn, която е сборът на първите n члена, е равна на (n^2 – 3) върху n^3 + 4. Само да си припомним какво означава това. Sn е същото нещо като а1 + а2 +... и така продължаваме чак до аn, и това е равно на този израз, (n^2 – 3)/(n^3 + 4). Като знаеш това, ако някой те срещне на улицата и попита: "Щом знаеш как се записва частична сума, ето един въпрос: Ако S е безкраен ред, записвам го в общия случай, S е безкраен ред от n = 1 до безкрайност на a с индекс n а частичната сума Sn, дефинирана по този начин, и ако някой ти даде тези две неща, и после поиска да намериш колко е сумата от n = 1 до n = 6 от а с индекс n – като те насърчавам да спреш видеото и да опиташ да го решиш. Това тук ще бъде а1, плюс а2 плюс а3, плюс а4 плюс... когато казвам индекс, това означава това число, записано тук отдолу, плюс а5 плюс а6, което е равно на частичната сума на първите шест члена на безкрайния ред. Това е частичната сума S с индекс 6. Ние знаем как да решим алгебрично колко е S6. Можем да използваме дадената ни формула, S6 е равно на... всяко n в нея заместваме с 6, и получаваме 6^2 – 3 върху 6^3 + 4. Колко е това? 6 на квадрат е 36, минус 3, това е 33. 6 на трета степен е 36 по 6, винаги го забравям, в ума ми изскача 216, но нека да проверим дали е толкова. 6 по 30 е 180, плюс 36, да, това е 216. Неволно съм го запомнил, като съм срещал 6 на трета много пъти в живота ми, съм го запомнил несъзнателно. 6 на трета, изобщо не пречи да го знае човек. Значи това е 216 плюс 4, което е 220. Така S6, или сборът на първите шест члена на този безкраен ред тук, е 33/220 и сме готови. Смисълът на всичко това беше просто един вид да се запознаеш с този начин на записване на частична сума и да разбереш какво всъщност означава.