If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:54

Оценка на суми на геометрични прогресии с формулата за сума на n квадрати

Видео транскрипция

Да опитаме да пресметнем тази сума ето тук, или да опитаме да изчислим този израз. По същество трябва да намерим стойността на тази сума. Има различни начини да се направи това. Буквално можеш да използваш груба сила. Можеш да кажеш: "На какво е равно това, когато n = 1, когато n = 2, и така до n = 7." Това е съвсем правилно. Но за мен това е възможност да разгледаме някои свойства на означението със сигма. Хайде да разнищим това. Първото нещо, което може да кажеш, е, че ако трябва да сумираме всички тези членове, когато n = 1, n = 2 и така нататък до n = 7, то е логично, че това е същото нещо като сумирането на 3n^2 от n = 1 до n = 7 плюс сумата от 2n^2 за n = 1 до n = 7... би трябвало да кажа 2n, това ето тук, плюс сумата от 4 за n = 1 до n = 7. Ако това ти се струва малко объркващо, ти препоръчвам да развиеш тази сума и да се убедиш, че когато разместим членовете, ще получим тези две неща. Тук няма да правя пълно доказателство, но се надявам, че ако ти развиеш това, ще видиш, че не съм си изсмукал от пръстите това, което твърдя тук. От тези три части последната част е най-лесна за изчисляване. Когато n е равно на 1, това е равно на 4. Когато n е равно на 2, това нещо пак е 4. Когато n е равно на 3, това е равно на 4. Така се получават седем четворки, които да съберем. Така че това означава просто да пресметнем 7 по 4, което е 28. Сега да видим тази част тук. Отново, можем просто да използваме груба сила. 2 по 1 е 2, плюс 2 по 2, което е 4. И трябва да пресметнеш първите седем кратни на 2 – това е един начин да си го представиш. Или, ако развием това... всъщност ще го развия. Това е равно на 2 плюс 4 плюс 6 и така нататък когато n е 7, изразът е равен на 14. Можем да изнесем 2 пред скоби. Така получаваме 2 по, скоба, 1 плюс 2, плюс 3, и така нататък до 7. Можем да преработим тази част ето тук като 2 по сумата... просто изнасяме 2 пред скоби – 2 по тази сума, която е сумата от n за n от 1 до 7. Това е тази част ето тук. Отново трябва да добавим това 28 ето тук. Добавяме това 28. Поставям скоби, така че да не си помислиш, че 28 е част от този израз. Сега можем да направим същото с тази част. 3 по n... сумираме 3n^2 за n от 1 до 7. Правим същото, което направихме тук в цикламено, това е равно на 3 по сумата от n^2 за n от 1 до 7. Просто изнасяме 3 пред скоби, тук изнасяме 2 пред скоби. n на квадрат. Пак поставям скоби, само за да останат ясни нещата. Съществуват формули за изчисляване на всеки от тези изрази. Има формула за пресмятане на това ето тук. Има формула за пресмятане на това ето тук. Можеш да ги потърсиш. Всъщност аз ще ти дам формулите, ако ти е любопитно. Формулата за това, един от начините за нейното записване, е че това е равно на n^3 върху 3 плюс n^2 върху 2 плюс n върху 6. Това е една от формулите за пресмятане на първата сума. Една формула за тази част ето тук, когато n е от 1 до 7... извинявам се. Нека да поясня. Това n всъщност трябва да е крайната стойност. Значи това трябва да е 7 на трета степен върху 3... това не е същото n. Използвах формулата без да се замисля... 7 на трета степен върху 3, плюс 7 на квадрат върху 2, плюс 7/6. Това е тази сума. Тази сума можеш да разглеждаш като средна стойност от първия и последния член. Първият член е 1. Последният член е 7. Намираме средната им аритметична стойност и после я умножаваме по броя на членовете, които имаме. Значи по – тук имаме 7 члена. На колко е равна тази сума тук в средата? 1 по... разбира се, имаме това 2 пред скобите. Това зеленото е просто тази част ето тук. Значи имаме 2 по това. Ето тук имаме 3 по този израз ето тук. Ако пресметнем това – две по... да видим. 1 плюс 7 е 8, делено на 2 е 4. 4 по 2 е 8. По 7 дава 56. Значи това става 56. Сега, това... да видим. Това всъщност... можем да го сметнем, ако искаме. Предполагам, че можем да вземем калкулатор, ако искаме да намерим колко е 7 на трета степен. Да го направим, за да спестим време. Да го сметнем. Имаме 7 на трета степен, делено на 3, плюс 7 на втора степен, делено на 2, плюс 7 делено на 6, което – барабани, моля! – това дава 140. Значи това е равно на 3 по 140... ще използвам този цвят – 3 по 140 плюс 56, плюс 28. Така и така имаме калкулатор, да го използваме. Да видим. 140 по 3 е 420, плюс 56, плюс 28... заслужаваме овации – получаваме 504. Значи тази сума ето тук е равна на 504. Повтарям отново, че има много начини да се пресметне. Но е хубаво да знаеш, че има начини да разделиш задачата на части. Както и че съществуват всички тези формули. Препоръчвам ти да разгледаш тези формули, да видиш как са изведени и доказани. Знаеш, че не обичам да казвам просто: "О, за това си има формула. Можеш просто да я използваш." Формулата тук е получената стойност тук на трета степен върху 3, плюс тази стойност на квадрат, върху 2, плюс тази стойност върху 6. Препоръчвам ти да разгледаш формулите в Кан Академия, формулата за сума на квадратите на n, така ще разбереш откъде е изведено това. Също така формулата за сумата на аритметичен ред (аритметична прогресия), която ще ти покаже откъде е изведено ето това.