If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:02

Текстова задача за безкрайни геометрични прогресии: безкрайна периодична дроб

Видео транскрипция

Нека кажем, че имаме десетичната дроб 0,4008 в период, при която цифрите 4008 се повтарят до безкрайност. Ако трябваше да я напишем, тя щеше да изглежда по следния начин. 0,400840084008 и продължава до безкрай. Сега искам от теб да спреш видеото на пауза и да помислиш дали можеш да представиш тази десетична дроб в период като безкрайна сума, като сума на безкрайна редица. След това помисли дали тази сума на безкрайна редица е на геометрична прогресия. Приемам, че се опита да го направиш. Нека помислим върху това. За всеки член от сумата на безкрайната редица ще представя един от тези повтарящи се модели на 4008. Например ще направя 4008 да е първият ми член. Това може да бъде разглеждано като 0. А това 4008 представя 0,4008. След това можем да направим това 4008 следващия член или следващият член ще бъде представен от това 4008. А това 4008 е същото като 0,00004008. И след това следващото 4008 ще представя 0 цяло -- имаме 8 нули -- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 4008. Като ще продължим по същия начин до безкрай. Ще продължим по този начин до безкрайност. Дано тук да има някакъв модел. По същество слагаме 4 нули след знака за десетичната запетая всеки път. Като просто можем да продължим по този начин до безкрай. Това е безкрайна сума. Сума на безкрайна редица. Следващият въпрос е, дали това е сума на геометрична прогресия? За да бъде това сума на геометрична прогресия, когато се придвижваме от един член до следващия, трябва да умножаваме по една и съща стойност, по едно и също частно. По какво умножаваме, когато се придвижим от 0,4008 до този член тук, където прибавяме 4 нули пред 4008? По какво умножаваме? Преместваме десетичната запетая с 4 места наляво. Така че умножаваме по 10 на степен минус 4. Или можем да го разгледаме като умножение по 0,0001, 10 на минус 1, 2, 3, 4. За да стигнем от тук до там, имаме същото нещо. Преместваме десетичната запетая с 4 позиции наляво. Още веднъж умножаваме по 0,0001. Така че изглежда доста ясно, че имаме частно 10 на степен минус 4. Така че можем да напишем цялото това нещо като 0,4008 по частното за този първи член по частното от 10 на степен минус 4 на степен 0 -- така че това ще ни даде ето това там -- плюс 0,4008 по 10 на степен минус 4, на първа степен. А това ни дава тази стойност ето там. Плюс 0,4008 по 10 на степен минус 4, на втора степен. Като продължаваме нататък. В този вид изглежда малко по-ясно, прилича на сума на безкрайна геометрична прогресия. Ако искахме да го напишем с означението сигма, можехме да го напишем като сумата от k равно на 0 до безкрайност, на -- какъв ще бъде първият член? Той ще бъде 0,4008 по частното, което може да бъде написано или като 10 на степен минус 4, или като 0,0001. Ще го напиша като 10 на степен минус 4. 10 на степен минус 4 на степен k. Следващият интересен въпрос -- ясно е, че това може да бъде представено като сума на геометрична прогресия -- е колко е сумата? Може да кажеш, че това ще бъде 4008, което се повтаря до безкрай. Но искам да го изразим като обикновена дроб. Така че искам от теб да спреш видеото на пауза. Използвай това, което вече знаеш за намирането на сумата на безкрайна геометрична прогресия, за да се опиташ да изразиш това тук като обикновена дроб. Прием, че вече опита да го направиш. Нека помислим върху това. Вече сме виждали, вече получихме в предишни клипове, че сумата на една безкрайна геометрична прогресия -- ще го напиша с неутрален цвят. Ако имаме сума като тази, k равно на 0 до безкрайност, на аr на степен k, че тази сума ще бъде равна на а върху 1 минус r. Всъщност получихме това в няколко други клипа. В този случай това ще бъде -- тук а е 0,4008. И то ще бъде върху 1 минус частното, минус -- ще го напиша по този начин -- 0,0001 или 1 десетохилядна. Колко ще бъде това? Това ще бъде същото като 0,4008. Ако изчислиш 1 минус 1 десетохилядна или можеш да го напишеш като 10 000 десетохилядни минус 1 десетохилядна, ще получиш 9 999 десетохилядни. Още веднъж, можеш да го разглеждаш -- нека го запиша, просто за да не изглежда объркващо. 1 е същото като 10 000/10 000. Изваждаме 1/10 000. Така че ще получиш 9 999/10 000. Така че това ще бъде същото като 0,4008 по 10 000. По 10 000 върху 9 999. Колко е това горното число по 10 000? Това ще ни даде просто 4008. 4008 върху 9 999. Като просто изразихме тази десетична дроб в период като обикновена дроб. Така че успяхме. Може би ще кажеш, че можем да опростим това нещо. Да видим. Това вече е дроб, така че вече един вид сме го направили. Но ако искаме да получим малко по-просто нещо. Да видим, ако съберем цифрите тук горе, 4 плюс 8 е 12 и 1 плюс 2 е 3. Това тук се дели на 3. И това тук долу е ясно, че също се дели на 3. Нека разделим и двете на 3. 3 се съдържа в 4008 -- да видим. То се съдържа в 4 един път, изваждаш и получаваш 10. 3 по 3 е 9. Изваждаш и получаваш още едно 10. Съдържа се 3 пъти. 3 по 3 е 9. Изваждаме. Сваляме долу 8. 3 се съдържа в 18 точно 6 пъти. Следователно числителят е 1336. Това вече не се дели на 3. Сумата от цифрите не се дели на 3, не е кратна на 3. Ако разделиш долното число на 3, получаваш 3333. Мисля, че го опростихме. Мисля, че успяхме да го опростим, колкото можем. Можем да проверим още малко. Кажи, ако не съм успял. Но във всеки случай сега написахме това. Това беше доста ясно. Видяхме, че една десетична дроб в период може да бъде представена не само като безкрайна сума, но и като сума на безкрайна геометрична прогресия. И след това успяхме да използваме формулата, която получихме за сумата на безкрайни геометрични прогресии, за да я изразим всъщност като дроб.