Доказателство за представянето на безкраен геометричен ред като граница

В предишното видео получихме формулата за сумата на крайна геометрична прогресия, където а е първият член, а r е частното на прогресията. В това видео искам да разгледаме сумата на безкрайна геометрична прогресия. Като винаги съм намирал това за сравнително невероятно или всъщност повече от невероятно, защото изчисляваме сумата на безкрайни неща, но както виждаме, можем в действителност да получим крайна стойност, в зависимост какво е частното на прогресията. Има няколко начина да го разглеждаме. Единият е, че можем да кажем, че сумата на една безкрайна геометрична редица е просто граница й, когато n клони към безкрайност. Така че можем да кажем, каква е границата, когато n клони към безкрайност, на това нещо, на сумата от k равно на 0 до n, на а по r на степен k. Което ще бъде същото като изчисляването на границата, ако n клони към безкрайност ето тук. Това ще бъде същото като границата, когато n клони към безкрайност на цялото това нещо. Нека само да го копирам, за да няма нужда да сменям цветовете. Копирам го и го поставям. Каква е границата, ако n клони към безкрайност тук? Нека помислим върху това за секунда. Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и аз ще ти дам една подсказка. Помисли върху това за r по-голямо от 1, за r равно на 1 и всъщност нека го изясня -- нека го разгледаме за абсолютните стойности на r, които са по-големи от 1, абсолютните стойности на r равни на 1 и след това абсолютните стойности на r по-малки от 1. Приемам, че вече опита да го направиш. Ако абсолютната стойност на r е по-голяма от 1, когато този степенен показател клони към безкрайност, това число ще стане просто изключително голямо. Така че цялото нещо ще стане или можеш поне да разгледаш абсолютната стойност на цялото -- тя просто ще стане много, много, много голямо число. Ако r беше равно на 1, тогава знаменателят ще стане 0. И ще разделяме на този знаменател, като тази формула просто се разпада. Но случаят, в който тази формула може да е от полза и където може това в действителност да ни даде чувствителен резултат, е когато абсолютната стойност на r е между 0 и 1. Вече сме говорили за това, че дори нямаме работа с геометрични, дори не говорим за сума на геометрична прогресия, ако r е равно на 0. Нека разгледаме случая, при който абсолютната стойност на r е по-голяма от 0 и е по-малка от 1. Какво ще стане в такъв случай? Знаменателят тук ще има смисъл. Тогава какво ще се случи тук отгоре? Ако имаме нещо с абсолютна стойност по-малка от 1 и го отнасяме на по-висока и по-висока, и по-висока степен, всеки път когато го умножаваш по него самото, ще получаваш число с по-малка абсолютна стойност. Така че този член тук, целият този член ще отива към нула, ако n клони към безкрайност. Представи си, че n беше 1/2. Говорим за 1/2 на степен сто, 1/2 на степен хиляда, 1/2 на степен милион, 1/2 на степен милиард. Това бързо ще клони към 0. Така че това отива към 0, ако абсолютната стойност на r е по-малка от 1. Можем да се съгласим, че това ще бъде равно на а върху 1 минус r. Например ако имах сума на геометрична прогресия, ако имах сума на безкрайна геометрична прогресия -- нека само избера някоя проста. Нека кажем, че първият ми член е 1, а всеки следващ член ще бъде умножаван по 1/3. Това е 1 плюс 1/3, плюс 1/3 на квадрат, плюс 1/3 на трета степен, плюс, като ще продължим до безкрайност. Това ни показва, че тази сума на безкрайна редица -- тук имам безкраен брой членове -- това е една доста забележителна концепция -- ще доведе до това. Ще имаме първият член 1 върху 1 минус частното на прогресията. Частното в този случай е 1/3. 1 минус 1/3, което е същото като 1 върху 2/3, което е равно на 3/2 или можеш да го разглеждаш като 1 и 1/2. Това е сравнително невероятно нещо.