Сбор на n квадрати (част 3)

В последното видео видяхме, че ако трябва да намерим сумата от i^2 за i от 1 до n, тя е равна на – отделихме за това два видео клипа, беше трудоемко, но се преборихме – това е равно на 1/3 по n^3... ще го запиша малко по-прегледно. 1/3 по n^3 плюс 1/2 по n^2 плюс 1/6 по n. Това е напълно вярно, но може би ти е позната и една друга формула за тази сума, която не изглежда по този начин. Сега искам да преработим малко това алгебрично, за да получим друга формула, която обикновено се използва за тази сума. Първото нещо, което може би забелязваш, е какво ще стане, когато изнесем пред скоби 1/6 по n? Това ще е равно на... изнасяме пред скоби ето това, 1/6 по n – това е равно на 1/6 по n по – да видим. 1/3 делено на 1/6 е равно на 1/3 по 6. Така че това тук става равно на 2n^2. Можеш да провериш. 1/6 по 2 е 2/6 или 1/3. n по n^2 е n^3. После, 1/2 делено на 1/6 е равно на 1/2 по 6, което е 3. Значи този член тук става плюс 3 по n. Накрая имаме този член, който ще стане просто 1. Сега трябва да разложим това тук в скобите. Можем да... да разложим с групиране. Спомни си, когато разлагаме чрез групиране, искаме да разделим коефициента в този член на части, на две числа, чието произведение е равно на произведението на 2 по 1. Очевидно е, че 2 по 1 е 2. Ще го разделим на 2 и 1, ако представим 3 като 2 и 1, 2 по 1 определено е 2 по 1. Ще го преработя по следния начин. Разлагам израза чрез групиране, което не е нещо специално. Значи представям това като 2n^2 плюс n, плюс 2n, плюс 1... това е всичко в скобите ето тук – от тази част ето тук можем да изнесем пред скоби едно n. Това става равно на – ще запиша 1/6 по n тук, за да знаеш какво правя. Тук изнасяме пред скоби n, става n по (2n + 1). Това е това, което подчертавам тук със зелено. Това е тази част ето тук. После това, което имаме тук, мога да представя като плюс 1 по (2n + 1). Ще използвам същия цвят, значи 1 по (2n + 1). Сега можем да изнесем пред скоби (2n + 1). Това се опростява до 1/6 по n по (2n + 1). Просто изнасям пред скоби (2n + 1). Като изнесем (2n + 1) от от тези членове, остават n и 1. Значи 1/6 по n по (2n + 1) по (n + 1). Ако това, което направих, е объркващо за теб, ти препоръчвам да гледаш отново видео уроците за разлагане с групиране. Друг начин да преработим това е да напишем, че целият този израз е равен на... може би ще го напиша с този зелен цвят, с който започнах. Това е равно на... ще напиша n по (n + 1) по (2n + 1), цялото това върху 6. Този израз е еквивалентен на този израз, и това е равно на тази стойност ето тук, така че използвай тази формула, която смяташ за по-лесна.