Тълкуване на формулата за сбор на първите n-члена на безкраен геометричен ред

Искам да направя друго нещо, подобно на доказателство, за да разгледаме сумата на една безкрайна геометрична прогресия. Като ще използваме една доста подобна идея на това, с което сме свикнали да намираме сумата на крайна геометрична редица. Нека кажем, че имам сума на безкрайна геометрична прогресия. Тя ще започва от k равно на 0, като никога няма да има край. Ще стига чак до безкрайност. Тук никога няма да спрем да прибавяме членове. И тя ще бъде първият член по частното на прогресията. Частното на степен k. Всъщност нека напиша k с този цвят. k равно на 0 чак до безкрайност. Нека означим това нещо тук, нека просто го означим s с индекс безкрайност. Тук ще стигаме чак до безкрайност. Ако трябваше да го разложа, това ще бъде равно на а по r на степен 0 -- всъщност нека просто го напиша по този начин, който е просто а... а по r на степен 0 плюс а по r на първа степен. r на първа степен. Плюс а по r на втора степен. r на втора степен. Плюс -- като можем просто да продължим нататък. Мисля, че схващаш основната идея. Сега точно както когато се опитахме да получим формула за сума на крайна геометрична редица, където просто каза, какво ще се случи, ако изчислим сумата и ако бяхме умножили всеки член по частното на прогресията. Всеки член по r. Нека го направим. Нека си представим тази сума. Като ще умножим всеки член по r. И причината, поради която казах, че това е подобно на доказателство, е че то не винаги е ясно -- то е малко, когато умножаваш нещо по безкраен брой членове или безкрайна сума, това поне ще ти даде основната идея. Или когато започнеш да разглеждаш и безкрайността, понякога гледам на нещата малко по-задълбочено. r по тази безкрайна сума? Това ще бъде равно на -- просто ще умножим всеки член тук по r. Така че имаме а по r на нулева степен, по r ще бъде а по r. а по r на първа степен. Умножим ли това това по r? Ще получиш а по r на втора степен. а по r на втора степен. Мисля, че виждаш накъде отиват нещата. Умножим ли това по r? Ще получиш плюс а по r на трета степен. Като просто продължаваме нататък. Просто ще продължим. Нека само да го покажа. Плюс точка, точка, точка Какво се случва, ако трябваше да извадим тази сума от тази горната сума? От лявата страна можем да изразим това като сумата s от безкрайност минус частното по s от безкрайност. Това ще бъде равно на... Когато извадиш, ще получиш а по r на нулева степен, което е наистина просто същото като а. Това ще бъде а. а по r на нулева степен е просто а по 1, което е а. Ще го напишем със същия цвят. Е равно на а. Но при всеки друг член -- ще имаш а по r на първа степен, но ще извадиш от него а по r на първа. Имаш а по r на втора, но ще извадиш от него а по r на втора. Така че всеки следващ член ще бъде премахван. Това е така чак до безкрайност. То никога, никога не свършва. Единственият член, който остава, е само първият, е само а. Така че сега можем просто да намерим сумата. Ако изнесем пред скоби S от безкрайност, оставаме с 1 минус r. 1 минус r. S по S, сумата по 1 минус r е равна на а. Разделяме двете страни на 1 минус r и получаваме сума, нещото което търсим -- Още веднъж, това е един невероятен резултат. При който изчислявайки сумата от безкраен брой членове при правилните условия, ще получим крайна стойност. Така че това ще бъде равно на а върху 1 минус r. Още веднъж, това е доста ясно. Ако имах сумата, да кажем, че започваме с 5 и след това умножаваме всеки път по 3/5. 5 плюс 3/5 по 5 е 3, по 3/5 ще бъде 9/5. 9/5 или ще умножа отново по 9/5 -- о, извинявам се, не 9/5. Мисълта ми не функционира правилно! 5 по 3/5 ще бъде 3 по 3/5. Ще имаме -- 3 по това ще бъде 9/5 всъщност това беше вярно. Мисълта ми функционира правилно. По 3/5 ще бъде 27 върху 25. По 3/5 ще бъде 81/125. Като продължаваме нататък до безкрайност. Забележи, че тези членове започват да стават все по-малки и по-малки, и по-малки. Всъщност всички те стават по-малки и по-малки, и по-малки. Умножаваме по 3/5 всеки път. Сега знаем каква ще бъде сумата. Тя ще бъде първият член -- ще бъде 5 върху 1 минус частното. Частното в този случай е 3/5. Така че това ще бъде равно на 5 върху 2/5, което е същото като 5 по 5/2, което е 25/2, което е равно на 12 и 1/2 или 12,5. Отново получаваме невероятен резултат. Тук изчислявам сума на безкраен брой членове и успях да получа краен резултат. Още веднъж, кога се случва това? Ако частното на прогресията -- ако абсолютната стойност на частното е по-малка от 1, тогава тези членове ще стават все по-малки и по-малки, и по-малки. Като дори тук виждаш, че това дори се получава математически в този знаменател, при който ще получиш разумен отговор. И в това има смисъл, защото тези членове стават все по-малки и по-малки, и по-малки, така че това нещо е сходяща редица. Дори ако r е 0. Ако r е 0, вече нямаме работа строго със сума на геометрична прогресия, но очевидно е, че ако r беше 0, тогава наистина щеше да имаш само това -- дори първият член да е под въпрос, в зависимост от това, как определяш колко е 0 на степен 0. Но ако първият член ще бъде просто а, тогава е ясно, че ще останеш само с а като сума и а върху 1 минус 0 е също а. Така че тази формула, която току-що получихме, важи за това тук. Тя не започва да губи смисъл, ако r е равно на 1 или минус 1. Ако r е равно на 1, тогава както можеш да си представиш, ще имаш просто а плюс а, плюс а, плюс а, което ще продължава до безкрайност. Ако r е равно на минус 1, просто продължаваш да се колебаеш. а, минус а, плюс а, минус а. Така че стойността на сумата продължава да се колебае между две стойности. Като цяло тази сума на безкрайна геометрична прогресия ще има сходимост, ако абсолютната стойност на частното е по-малка от 1. Или друг начин да го кажем, е ако частното е между 1 и минус 1.